В  пра­виль­ной  тре­уголь­ной  пи­ра­ми­де SABC с  вер­ши­ной S сто­ро­на  ос­но­ва­ния равна   Через  пря­мую  AB  про­ве­де­но  се­че­ние пер­пен­ди­ку­ляр­ное ребру SC, пло­щадь ко­то­ро­го равна 18. Найти длину бо­ко­во­го ребра пи­ра­ми­ды.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с вер­ши­ной S сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 1. Объем пи­ра­ми­ды равен Через сто­ро­ну ос­но­ва­ния CD про­ве­де­но се­че­ние, ко­то­рое делит по­по­лам дву­гран­ный угол, об­ра­зо­ван­ный бо­ко­вой гра­нью SCD и ос­но­ва­ни­ем. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния.

Каж­дое из ребер тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды ABCD имеет длину 1. Точка P на ребре AB, точка Q на ребре BC, точка R на ребре CD взяты так, что Плос­кость PQR пе­ре­се­ка­ет пря­мую AD в точке S. Найти ве­ли­чи­ну угла между пря­мы­ми SP и SQ.

В ос­но­ва­нии че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD лежит ромб ABCD со сто­ро­ной 1. Длина диа­го­на­ли AC ромба равна 1,5. Ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды сов­па­да­ет с цен­тром ромба и ее длина в 1,5 раза боль­ше длины AC. Через точку A и се­ре­ди­ну ребра SC про­ве­де­на се­ку­щая плос­кость, об­ра­зу­ю­щая с плос­ко­стью ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды угол 45°. Ка­ко­ва пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды этой плос­ко­стью?

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с вер­ши­ной S угол между бо­ко­вым реб­ром и плос­ко­стью ос­но­ва­ния равен сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 1, SH  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку H па­рал­лель­но реб­рам SA и BC.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ плос­кость про­хо­дит через пря­мую A₁B₁ и се­ре­ди­ну ребра DD₁. Найти рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны ребра DC до плос­ко­сти, если ребро куба равно 4.

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит ромб ABCD со сто­ро­ной и углом А, рав­ным На реб­рах AB, B₁C₁ и CD взяты точки E, F и G так, что AE = BE, B₁F = FC₁ и DG = 3GC. Най­ди­те ко­си­нус угла между плос­ко­стя­ми EFG и ABC, если вы­со­та приз­мы равна 4,5.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де PABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD точка M  — се­ре­ди­на ребра PA, точка K  — се­ре­ди­на ребра PB. Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны A до плос­ко­сти CMK, если PC = 6, AB = 4.

Угол на­кло­на всех бо­ко­вых гра­ней пи­ра­ми­ды SABC оди­на­ков и равен Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды яв­ля­ют­ся пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом C.

а)  До­ка­жи­те, что про­ек­ци­ей вер­ши­ны пи­ра­ми­ды на плос­кость ос­но­ва­ния яв­ля­ет­ся центр впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC.

б)  Найти бо­ко­вую по­верх­ность пи­ра­ми­ды, если а ра­ди­ус впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC окруж­но­сти равен 1.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме все ребра ко­то­рой равны, точка K  — се­ре­ди­на Най­ди­те угол между плос­ко­стью ABC и плос­ко­стью где P  — се­ре­ди­на

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма , сто­ро­ны ос­но­ва­ния ко­то­рой равны Най­ди­те угол между пря­мы­ми и , если сумма длин всех сто­рон обоих ос­но­ва­ний равна

Дан куб c реб­ром, рав­ным 4. Пусть точка S лежит на сто­ро­не AB так, что Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки S до плос­ко­сти , где P  — се­ре­ди­на

Дан еди­нич­ный куб Пусть точка K  — се­ре­ди­на Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки до пря­мой

Сфера с цен­тром в точке O впи­са­на в пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед Най­ди­те угол между пря­мы­ми и BK, где K  — се­ре­ди­на

Дан пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед ABCDA₁B₁C₁D₁, в ос­но­ва­нии ко­то­ро­го лежит квад­рат со сто­ро­ной 1. На плос­ко­сти ос­но­ва­ния име­ет­ся квад­рат CDKM. В этот квад­рат впи­са­на окруж­ность, ко­то­рая яв­ля­ет­ся ос­но­ва­ни­ем ци­лин­дра с вы­со­той, рав­ной длине от­рез­ка AA₁. Най­ди­те рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны ос­но­ва­ния ци­лин­дра до точки пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей па­рал­ле­ле­пи­пе­да, если рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AC и B₁D₁ равно 2.

Дан куб c реб­ром 5 см. Точка I дви­жет­ся по сто­ро­нам квад­ра­та со ско­ро­стью 1см/с, стар­туя из точки Дви­га­ясь в на­прав­ле­нии об­хо­да точка I через 7 се­кунд оста­но­ви­лась. Найти угол между плос­ко­стью ABD и плос­ко­стью где M  — се­ре­ди­на

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме все ребра равны 1. Найти рас­сто­я­ние между пря­мы­ми и

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит пря­мо­уголь­ный рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом C и ги­по­те­ну­зой Найти рас­сто­я­ние от точки до пря­мой если точка   — се­ре­ди­на ребра ко­то­рое равно

В кубе с реб­ром 1 на ребре и вы­бра­ны точки K и M со­от­вет­ствен­но так, что а Найти рас­сто­я­ние между пря­мы­ми и

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме все ребра равны Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми и

К диа­го­на­ли куба про­ве­ли пер­пен­ди­ку­ля­ры из се­ре­дин ребер AB и AD. Най­ди­те угол между этими пер­пен­ди­ку­ля­ра­ми.

Диа­го­наль куба слу­жит реб­ром дву­гран­но­го угла, грани ко­то­ро­го про­хо­дят через вер­ши­ны B и Най­ди­те ве­ли­чи­ну этого угла.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с вер­ши­ной S на сто­ро­нах AB и AC вы­бра­ны точки M и K со­от­вет­ствен­но так, что тре­уголь­ник AMK по­до­бен тре­уголь­ни­ку ABC с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия На пря­мой MK вы­бра­на точка E так, что ME : EK  =  7 : 9. Найти рас­сто­я­ние от точки E до плос­ко­сти BSC, если сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 6, а вы­со­та пи­ра­ми­ды равна

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с вер­ши­ной S, со сто­ро­ной ос­но­ва­ния, рав­ной и бо­ко­вым реб­ром 5 найти угол между пря­мой AB и плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны BC и и вер­ши­ну

Точки   — се­ре­ди­ны ребер и со­от­вет­ствен­но куба Найти угол между пря­мой и плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку K пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой

В пра­виль­ной приз­ме со сто­ро­ной ос­но­ва­ния, рав­ной и вы­со­той, рав­ной 2, про­ве­де­но се­че­ние через пря­мую BC, ко­то­рое делит приз­му на 2 мно­го­гран­ни­ка рав­ных объ­е­мов. Найти пло­щадь се­че­ния.

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ост­рым углом А, рав­ным 30°. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы, про­хо­дя­ще­го через мень­ший катет BC од­но­го ос­но­ва­ния и се­ре­ди­ну ги­по­те­ну­зы про­ти­во­по­лож­но­го ос­но­ва­ния приз­мы, если рас­сто­я­ние между ос­но­ва­ни­я­ми приз­мы равно рас­сто­я­нию от вер­ши­ны А до ис­ко­мо­го се­че­ния и равно 6.

В пи­ра­ми­де SABC объ­е­мом 18 в ос­но­ва­нии лежит рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник Бо­ко­вая грань, про­хо­дя­щая через ос­но­ва­ние AB рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. На ребре SC от­ме­че­на точка E так, что пря­мая AE об­ра­зу­ет угол с плос­ко­стью ос­но­ва­ния, а объем пи­ра­ми­ды EABC в два раза мень­ше объ­е­ма пи­ра­ми­ды Найти пло­щадь се­че­ния ABE, если тре­уголь­ник ABE рав­но­сто­рон­ний.

Точка M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC ос­но­ва­ния ACB пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы Бо­ко­вое ребро приз­мы равно а сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 12. Най­ди­те синус угла между пря­мой и плос­ко­стью бо­ко­вой грани

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де от­но­ше­ние бо­ко­во­го ребра к вы­со­те пи­ра­ми­ды равно 2. Най­ди­те от­но­ше­ние ра­ди­у­са впи­сан­но­го в пи­ра­ми­ду шара к сто­ро­не ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

Через се­ре­ди­ну диа­го­на­ли куба про­ве­де­на плос­кость пер­пен­ди­ку­ляр­но этой диа­го­на­ли. Найти от­но­ше­ние пло­ща­ди се­че­ния куба дан­ной плос­ко­стью к пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти куба.

Пра­виль­ную че­ты­рех­уголь­ную пи­ра­ми­ду пе­ре­се­ка­ет плос­кость, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну ос­но­ва­ния пер­пен­ди­ку­ляр­но про­ти­во­по­лож­но­му бо­ко­во­му ребру. Пло­щадь по­лу­чив­ше­го­ся се­че­ния в два раза мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. Най­ди­те от­но­ше­ние длины вы­со­ты пи­ра­ми­ды к длине бо­ко­во­го ребра.

Ос­но­ва­ни­ем че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD яв­ля­ет­ся квад­рат ABCD, а вы­со­та пи­ра­ми­ды сов­па­да­ет с реб­ром Найти вы­со­ту пи­ра­ми­ды, если ра­ди­ус впи­сан­но­го в пи­ра­ми­ду шара равен 3, а сто­ро­на квад­ра­та ABCD равна 15.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с ос­но­ва­ни­ем ABC из­вест­ны ребра Най­ди­те угол, об­ра­зо­ван­ный плос­ко­стью ос­но­ва­ния и пря­мой, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны ребер AS и

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка, об­ра­зо­ван­но­го диа­го­наль­ным се­че­ни­ем пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD с вер­ши­ной S, вдвое боль­ше пло­ща­ди её ос­но­ва­ния.

а)  По­строй­те это се­че­ние;

б)  Най­ди­те ко­си­нус плос­ко­го угла при вер­ши­не пи­ра­ми­ды.

В пря­мую приз­му ABCDA₁B₁C₁D₁, ниж­ним ос­но­ва­ни­ем ко­то­рой яв­ля­ет­ся ромб ABCD, а AA', BB', CC', DD'  — бо­ко­вые ребра, впи­сан шар ра­ди­у­са 1.

а)  По­строй­те плос­кость, про­хо­дя­щую через вер­ши­ны A, B, C'.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы этой плос­ко­стью, если из­вест­но, что

В ос­но­ва­нии пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит квад­рат ABCD со сто­ро­ной, рав­ной 3. Бо­ко­вое ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да равно 4. На ребре AA₁ от­ме­че­на точка M так, что AM : A₁M = 1 : 3.

а)  По­строй­те се­че­ние па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью BMD₁.

б)  Най­ди­те пло­щадь по­лу­чен­но­го се­че­ния.

На бо­ко­вых реб­рах пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы рас­по­ло­же­ны точки и М со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что угол между пря­мы­ми KL и АВ равен а угол между пря­мым КМ и АС –

а)  По­строй­те плос­кость, про­хо­дя­щую через точки и М.

б)  Най­ди­те угол между этой плос­ко­стью и плос­ко­стью ос­но­ва­ния АВС.

Плос­кость пе­ре­се­ка­ет бо­ко­вые ребра SA и SB тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC в точ­ках K и L со­от­вет­ствен­но и делит объем пи­ра­ми­ды по­по­лам

а)  По­строй­те се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, если SK : SA  =  2 : 3, SL : SB  =  4 : 5.

б)  В каком от­но­ше­нии эта плос­кость делит ме­ди­а­ну SN грани SBC?

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де PABCD вы­со­та PO равна а сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 6. Из точки О на ребро PC опу­щен пер­пен­ди­ку­ляр ОН. До­ка­жи­те, что пря­мая PC пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой DH. Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми, со­дер­жа­щи­ми две со­сед­ние бо­ко­вые грани.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка K  — се­ре­ди­на ребра C₁D₁, точка P  — се­ре­ди­на ребра AD, точка M  — се­ре­ди­на ребра CC₁.

а)  По­строй­те се­че­ние куба плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки K, P и M.

б)  Най­ди­те пло­щадь по­лу­чен­но­го се­че­ния, если ребро куба рано 6.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де PABCD каж­дое ребро равно 12. На ребре PC от­ме­че­на точка K так, что PK : KC  =  1 : 3.

а)  До­ка­жи­те, что линия пе­ре­се­че­ния плос­ко­стей ABK и PCD па­рал­лель­на плос­ко­сти ABC.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью ABK.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де PABCD бо­ко­вое ребро PA = 6, а сто­ро­на ос­но­ва­ния Через вер­ши­ну А пер­пен­ди­ку­ляр­но бо­ко­во­му ребру PC про­ве­де­на плос­кость.

а)  По­строй­те се­че­ние пи­ра­ми­ды этой плос­ко­стью.

б)  Най­ди­те пло­щадь по­лу­чен­но­го се­че­ния.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с ос­но­ва­ни­ем ABC из­вест­ны ребра и SC = 17. Най­ди­те угол, об­ра­зо­ван­ный плос­ко­стью ос­но­ва­ния и пря­мой AM, где M  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан грани SBC.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния равна а бо­ко­вое ребро равно 2. Точка M  — се­ре­ди­на ребра AA₁. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки M до плос­ко­сти DA₁C₁.

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де два ребра, ис­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны по а все осталь­ные ребра равны по 2. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Цен­тры впи­сан­но­го и опи­сан­но­го шаров пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды сов­па­да­ют. Най­ди­те дву­гран­ный угол при сто­ро­не ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ все ребра равны 1. Точка E  — се­ре­ди­на ребра АС.

а)  По­строй­те се­че­ние приз­мы плос­ко­стью A₁B₁E;

б)  Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния.

Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 4. Точка N  — се­ре­ди­на СВ, а точка M лежит на ребре AA₁, при­чем AM : MA₁ = 3 : 1. Опре­де­ли­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми MN и BC₁.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC точка М  — се­ре­ди­на ребра SC, точка K  — се­ре­ди­на ребра AB.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая MK делит вы­со­ту SH пи­ра­ми­ды в от­но­ше­нии 1 : 3.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой MK и плос­ко­стью ABC, если из­вест­но, что AB = 6, SA = 5.

Дана пра­виль­ная ше­сти­уголь­ная приз­ма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁. Через точки B, D₁, F₁ про­ве­де­на плос­кость β.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость β пе­ре­се­ка­ет ребро AA₁ в такой точке M, что AM : A₁M  =  1 : 2.

б)  Най­ди­те угол, ко­то­рый об­ра­зу­ет плос­кость β с плос­ко­стью ос­но­ва­ния приз­мы, если из­вест­но, что AB  =  1, AA₁  =  3.

Дана пра­виль­ная ше­сти­уголь­ная приз­ма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁. Через точки B, D₁, F₁ про­ве­де­на плос­кость

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти DCC₁.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью α, если из­вест­но, что AB  =  1, AA₁  =  3.

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит ромб ABCD с диа­го­на­ля­ми AC = 8 и BD = 6.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые BD₁ и AC пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми BD₁ и AC, если из­вест­но, что бо­ко­вое ребро приз­мы равно 12.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де PABC бо­ко­вое ребро равно 10, а сто­ро­на ос­но­ва­ния равна Через точки В и С пер­пен­ди­ку­ляр­но ребру про­ве­де­на плос­кость α.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит пи­ра­ми­ду PABC на два мно­го­гран­ни­ка, объ­е­мы ко­то­рых от­но­сят­ся как 2 : 3.

Б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды PABC плос­ко­стью α.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ AB = 8, BC = 6, AA₁ = 12. Точка K  — се­ре­ди­на ребра AD, точка M лежит на ребре DD₁ так, что DM : D₁M = 1 : 2.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая BD₁ па­рал­лель­на плос­ко­сти CKM.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью CKM.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ AB = 6, BC = 4, AA₁ = 7. Точка P  — се­ре­ди­на ребра AB, точка M лежит на ребре DD₁ так, что DM : D₁M = 2 : 5.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость MPC делит объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да в от­но­ше­нии 1 : 11.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки D до плос­ко­сти MPC.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де PABCD все ребра равны между собой. На ребре PC от­ме­че­на точка K.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью ABK яв­ля­ет­ся тра­пе­ци­ей.

б)  Най­ди­те угол, ко­то­рый об­ра­зу­ет плос­кость ABK с плос­ко­стью ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, если из­вест­но, что PK : KC  =  3 : 1.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 5. На ребре CC₁ взята точка K так, что CK : KC₁  =  1 : 4, а на ребре A₁C₁ взята точка M так, что A₁M : MC₁  =  1 : 2.

А)  Опре­де­ли­те, в каком от­но­ше­нии плос­кость BKM делит ребро A₁B₁ приз­мы.

Б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью BKM.

Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 12. Точка P  — се­ре­ди­на ребра СВ, точка K лежит на ребре CD так, что KD : KC  =  1 : 2. Плос­кость, про­хо­дя­щая через точки P, K и A₁ пе­ре­се­ка­ет ребро DD₁ в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что DM : D₁M  =  1 : 4.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми PKA₁ и ABC.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ AB  =  BC  =  8, BB₁  =  6. Точка K  — се­ре­ди­на ребра BB₁, точка P  — се­ре­ди­на ребра C₁D₁. Най­ди­те:

а)  пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки K и P па­рал­лель­но пря­мой BD₁;

б)  объем боль­шей части па­рал­ле­ле­пи­пе­да, от­се­ка­е­мой от него этой плос­ко­стью.

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ AB = 2, AA₁ = 3.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AC₁ и BE пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AC₁ и BE.

Дана пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да PABCD с вер­ши­ной в точке Р. Через точку С и се­ре­ди­ну ребра АВ пер­пен­ди­ку­ляр­но к ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды про­ве­де­на плос­кость α.

А)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро ВР в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от точки В.

Б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью α если из­вест­но, что РА = 10, АС = 16.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де PABC (ABC  — ос­но­ва­ние) M  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан грани PBC.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AM делит вы­со­ту РО пи­ра­ми­ды в от­но­ше­нии 3 : 1, счи­тая от точки P.

б)  Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках А, В, M, P, ели из­вест­но, что AB = 12, PC = 10.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды PABCD лежит рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция с ост­рым углом 45°. Бо­ко­вые грани PABи PCD пер­пен­ди­ку­ляр­ны ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды. 

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти PAB и PCD пер­пен­ди­ку­ляр­ны. 

б)  Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды, если из­вест­но, что BC  =  6, АD  =  12, а объем пи­ра­ми­ды равен 27.     

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де PABCD вы­со­та РО в пол­то­ра раза боль­ше, чем сто­ро­на ос­но­ва­ния. 

а)  До­ка­жи­те, что через точку О можно про­ве­сти такой от­ре­зок KM с кон­ца­ми на сто­ро­нах AD и BC со­от­вет­ствен­но, что  се­че­ние PKM пи­ра­ми­ды будет рав­но­ве­ли­ко ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды. 

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды PABMK к пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды PABCD.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ все ребра равны между собой. Через центр верх­не­го ос­но­ва­ния приз­мы и се­ре­ди­ны двух ребер ниж­не­го ос­но­ва­ния про­ве­де­на плос­кость β.

а)  Най­ди­те угол, ко­то­рый об­ра­зу­ет плос­кость β с плос­ко­стью ABC.             

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы ABCA₁B₁C₁ плос­ко­стью β, если из­вест­но, что ребро приз­мы равно 6.

Через ребро BC пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ под углом 60° к плос­ко­сти ABC про­ве­де­на плос­кость α. Из­вест­но, что пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью α равна а вы­со­та приз­мы равна 3.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро A₁B₁ в от­но­ше­нии 1 : 3, счи­тая от точки B₁.

б)  Най­ди­те объем мень­шей части, от­се­ка­е­мой от приз­мы ABCA₁B₁C₁ плос­ко­стью α.

В  кубе АВСDA₁B₁C₁D₁ точка  N  — се­ре­ди­на  ребра BC,  точка M лежит на ребре AB так, что MB  =  2MA. Плос­кость, про­хо­дя­щая через точки M и N па­рал­лель­но пря­мой ВD₁, пе­ре­се­ка­ет ребро DD₁ в точке K. 

а)  До­ка­жи­те, что DK : D₁K  =  5 : 2. 

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки D₁ до пря­мой MN, если из­вест­но, что ребро куба равно 12. 

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де PABC (P  — вер­ши­на) точка K – се­ре­ди­на AB, точка M  — се­ре­ди­на BC, точка N лежит на ребре АР, при­чем АN : NP  =  1 : 3. 

а)  До­ка­жи­те, что  се­че­ни­ем пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки N, K, M, яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция. 

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми NKM и ABC, если из­вест­но, что AB  =  6, АР  =  8.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де PABC к ос­но­ва­нию ABC про­ве­де­на вы­со­та РО. Точка K  — се­ре­ди­на СО.  

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость, про­хо­дя­щая через точки А, P и K делит ребро BC в от­но­ше­нии 1:4. 

б)  Най­ди­те объем боль­шей части пи­ра­ми­ды PABC, на ко­то­рые ее делит плос­кость APK, если из­вест­но, что

Тре­уголь­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁ с ниж­ним ос­но­ва­ни­ем ABC и бо­ко­вы­ми реб­ра­ми AA₁, BB₁, CC₁ рас­се­че­на плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки E, F, C, где точка E яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра AA₁, точка F лежит на ребре BB₁, при­чем BF : FB₁  =  1 : 2. 

а)  До­ка­жи­те, что объем части приз­мы ABCA₁B₁C ₁, за­клю­чен­ный между се­ку­щей плос­ко­стью и ниж­ним ос­но­ва­ни­ем этой приз­мы со­став­ля­ет  объ­е­ма приз­мы.

б)  Най­ди­те угол между ниж­ним ос­но­ва­ни­ем приз­мы и плос­ко­стью се­че­ния, если приз­ма ABCA₁B₁C₁  — пра­виль­ная и все ее ребра равны между собой.

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF с вер­ши­ной S бо­ко­вое ребро вдвое боль­ше сто­ро­ны ос­но­ва­ния.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость, про­хо­дя­щая через се­ре­ди­ны рёбер SA и SE и вер­ши­ну C, делит ребро SB в от­но­ше­нии 3 : 1, счи­тая от вер­ши­ны S.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром плос­кость, про­хо­дя­щая через се­ре­ди­ны рёбер SA и SE и вер­ши­ну C, делит ребро SF, счи­тая от вер­ши­ны S.

Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна бо­ко­вое ребро со­став­ля­ет с вы­со­той угол  Плос­кость про­хо­дя­щая через вер­ши­ну ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, пер­пен­ди­ку­ляр­на про­ти­во­ле­жа­ще­му бо­ко­во­му ребру и раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду на две части.

а)  По­строй­те се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью

б)  Опре­де­ли­те объем при­ле­га­ю­щей к вер­ши­не части пи­ра­ми­ды.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ про­ве­де­на се­ку­щая плос­кость, со­дер­жа­щая диа­го­наль AC₁, так, что се­че­ние  — ромб. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, если AB = 3, BC = 2 и AA₁ = 5.

Объем пи­ра­ми­ды ABCD равен 5. Через се­ре­ди­ны ребер AD и BC про­ве­де­на плос­кость, пе­ре­се­ка­ю­щая ребро CD в точке M. При этом DM : MC = 2 : 3. Найти пло­щадь се­че­ния, если рас­сто­я­ние от плос­ко­сти се­че­ния до вер­ши­ны A равно 1.

У Се­вер­но­го по­лю­са, на ост­ро­ве Шпиц­бер­ген в чер­то­гах Снеж­ной ко­ро­ле­вы хра­нил­ся не­бы­ва­лой кра­со­ты ле­дя­ной алмаз в форме тет­ра­эд­ра SABC. В Но­во­год­нюю ночь злой тролль по­хи­тил часть ал­ма­за, и эта часть имеет форму тет­ра­эд­ра SAKM. Его вер­ные уче­ни­ки и от остав­шей­ся части взяли себе кусок и тоже в форме тет­ра­эд­ра  — KABC. Снеж­ной ко­ро­ле­ве оста­лась часть ал­ма­за, и она имеет форму тет­ра­эд­ра CAKM. Какую часть пер­во­на­чаль­но­го ал­ма­за оста­ви­ли Снеж­ной ко­ро­ле­ве тролль и уче­ни­ки? В тре­уголь­ни­ке ABC угол B равен 90°, AB = 3, BC = 4, AS пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ABC, AS = 4, AK пер­пен­ди­ку­ляр­но SB, AM пер­пен­ди­ку­ляр­но SC.

На про­дол­же­нии ребра ST за точку T пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SPQRT с вер­ши­ной S взята точка B так, что рас­сто­я­ние от этой точки до плос­ко­сти SPQ равно Найти длину от­рез­ка BT, если QR = 12, SR = 10.

Дана тре­уголь­ная пи­ра­ми­да ABCD с вер­ши­ной D, грани ко­то­рой ABD и ACD  — пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки, ребро AD пер­пен­ди­ку­ляр­но ме­ди­а­не ос­но­ва­ния АК и AD = AK. Се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, не про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны ребер AD и ВС, яв­ля­ет­ся рав­но­боч­ная тра­пе­ция EFGH с ос­но­ва­ни­я­ми EF и GH, при­чем точка Е делит ребро BD по­по­лам, а точка G лежит на ребре АС и AG = 3GC. Найти от­но­ше­ние пло­ща­ди тра­пе­ции EFGH к пло­ща­ди грани BCD.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABCD лежит пря­мо­уголь­ник ABCD со сто­ро­на­ми AB = 6 и BC = 9. Вы­со­та пи­ра­ми­ды про­хо­дит через точку O пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей AC и BD ос­но­ва­ния и равна Точки E и F лежат на реб­рах AB и AD со­от­вет­ствен­но, при­чем AE = 4, AF = 6. Найти пло­щадь мно­го­гран­ни­ка, по­лу­чен­но­го при пе­ре­се­че­нии пи­ра­ми­ды с плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки E и F и па­рал­лель­ной ребру AS.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABC лежит тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми AB  =  AC  =  5 и BC  =  6. Ребро SA пер­пен­ди­ку­ляр­но ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды. Найти ра­ди­ус сферы, опи­сан­ной около пи­ра­ми­ды, если из­вест­но, что от­но­ше­ние ра­ди­у­са впи­сан­ной в пи­ра­ми­ду сферы к ребру SA равно 2/7.

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де ABCD угол между гра­ня­ми ABC и ACD равен плос­кий угол BAC равен а рёбра AC и AD пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Найти длину ребра AD, если AB  =  5,

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с вер­ши­ной S, точка M  — се­ре­ди­на ребра BS. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­ве­ден­но­го через пря­мую AM па­рал­лель­но одной из диа­го­на­лей ос­но­ва­ния, ука­зан­ная диа­го­наль не при­над­ле­жит се­че­нию. Сто­ро­ны ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равны а вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 9.

Тре­уголь­ная пи­ра­ми­да ABCD пе­ре­се­ка­ет­ся с плос­ко­стью P по че­ты­рех­уголь­ни­ку EFGH так, что вер­ши­ны E и F лежат на реб­рах AB и AC и длина от­рез­ка EF равна 1. Из­вест­но, что плос­кость P па­рал­лель­на про­ти­во­по­лож­ным реб­рам AD и BC, ко­то­рые равны со­от­вет­ствен­но 4 и 2. Найти пе­ри­метр че­ты­рех­уголь­ни­ка.

Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 4. Через се­ре­ди­ны ребер AB и BC па­рал­лель­но пря­мой ВD₁ про­ве­де­на плос­кость.

А)  По­строй­те се­че­ние куба этой плос­ко­стью.

Б)  Най­ди­те пло­щадь по­лу­чен­но­го се­че­ния.

На реб­рах АА₁, CC₁, C₁D₁ па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ рас­по­ло­же­ны точки  M, N и  P так, что AM : AA₁  =  C₁N : C₁C  =  C₁P : C₁D₁  =  4 : 5.

а)  По­строй­те точку H пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти MNP с пря­мой BC.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние BH : BC.

Все ребра пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды FABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD равны 7. Точки P, Q, R лежат на реб­рах FA, AB и BC со­от­вет­ствен­но, при­чем FP  =  BR  =  4, AQ  =  3.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость PQR пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру FD.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны D до плос­ко­сти PQR.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де FABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD все ребра равны 5. Точки M, N лежат на реб­рах BC и CD со­от­вет­ствен­но, при­чем СМ  =  3, DN  =  2. 

Плос­кость α про­хо­дит через точки M, N и па­рал­лель­на пря­мой FC.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру AF. 

б)  Вы­чис­ли­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью α.

В кубе ABCDAA₁B₁C₁D₁ на про­дол­же­нии ребра BB₁ от­ме­че­на точка P так, что PB : BB₁  =  3 : 4. Через точки А и P па­рал­лель­но пря­мой ВD₁ про­ве­де­на плос­кость α. 

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро DC в от­но­ше­нии 1 : 2.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния куба плос­ко­стью α, если из­вест­но, что PB  =  18.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC точка P  — се­ре­ди­на AB, точка K  — се­ре­ди­на BC. Через точки P и K па­рал­лель­но SB про­ве­де­на плос­кость Ω.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью Ω яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком. 

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки S до плос­ко­сти Ω, если из­вест­но, что SC  =  5, AC  =  6.

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.  

а)  До­ка­жи­те, что каж­дая из плос­ко­стей BDA₁ и B₁D₁С пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AC₁. 

б)  Най­ди­те объем части куба, за­клю­чен­ной между плос­ко­стя­ми BDA₁ и B₁D₁C, если из­вест­но, что от­ре­зок диа­го­на­ли AC₁, за­клю­чен­ный между этими плос­ко­стя­ми, имеет длину

Через се­ре­ди­ну ребра AA₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой ВD₁ про­ве­де­на плос­кость α. 

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ни­ем куба плос­ко­стью α яв­ля­ет­ся пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми α и ABC.    

Ос­но­ва­ние пря­мой приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ слу­жит па­рал­ле­ло­грамм ABCD. Точка P  — се­ре­ди­на ребра AB.

а)  До­ка­жи­те, что от­но­ше­ние объёмов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые раз­би­ва­ет приз­му плос­кость PCD₁, равно 7 : 17.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью PCD₁, если из­вест­но, что AB  =  8, AD  =  3, AA₁  =  4, ∠BAD  =  120°.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ точка P  — се­ре­ди­на ребра A₁B₁, точка M  — се­ре­ди­на ребра A₁C₁.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы плос­ко­стью BPM про­хо­дит через точку C.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние объёмов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость BPM раз­би­ва­ет дан­ную приз­му, если из­вест­но, что AB  =  6, AA₁  =  4.

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ на ребре DD₁ от­ме­че­на точка O так, что

а)  До­ка­жи­те, что объём дан­ной приз­мы в 4,5 раза боль­ше, чем объём пи­ра­ми­ды OABB₁A₁.

б)  Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды OABB₁A₁, если из­вест­но, что AB  =  1, DD₁=3.

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.

а)  До­ка­жи­те, что объём пи­ра­ми­ды с ос­но­ва­ни­ем A₁BCD₁ и вер­ши­ной в точке B₁ со­став­ля­ет тре­тью часть объёма куба.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми B₁A₁B и B₁D₁C.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с вер­ши­ной S сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 4. Точка L  — се­ре­ди­на ребра SC. Тан­генс угла между пря­мы­ми BL и SA равен

а)  Пусть O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. До­ка­жи­те, что пря­мые BO и LO пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ из­вест­ны длины рёбер AA₁  =  7, AB  =  16, AD  =  6. Точка K  — се­ре­ди­на ребра C₁D₁.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость, про­хо­дя­щая через точку B пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой AK, пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок A₁K.

б)  Най­ди­те тан­генс угла между этой плос­ко­стью и плос­ко­стью ABC.

Ос­но­ва­ние пря­мой четырёхуголь­ной приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁  — пря­мо­уголь­ник ABCD, в ко­то­ром Рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AC и B₁D₁ равно 5.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость, про­хо­дя­щая через точку D пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой BD₁, делит от­ре­зок BD₁ в от­но­ше­нии 1 : 7, счи­тая от вер­ши­ны D₁.

б)  Най­ди­те ко­си­нус угла между плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку D пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой BD₁, и плос­ко­стью ос­но­ва­ния приз­мы.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с вер­ши­ной S, все рёбра ко­то­рой равны 2, точка M  — се­ре­ди­на ребра AB, точка O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, точка F делит от­ре­зок SO в от­но­ше­нии 3 : 1, счи­тая от вер­ши­ны пи­ра­ми­ды.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая MF пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой SC.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью MBF и плос­ко­стью ABC.

На ребре пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да взята точка E так, что на ребре   — точка F так, что а точка T  — се­ре­ди­на ребра Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость EFT про­хо­дит через вер­ши­ну

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью EFT и плос­ко­стью

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме  все ребра равны между собой. Точка К  — се­ре­ди­на ребра   

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые  пер­пен­ди­ку­ляр­ны.  

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми  и BK, если ребро приз­мы равно 6.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁точка М лежит на ребре ВВ₁ так, что ВМ : В₁М  =  1 : 3. Через точки М и С₁ па­рал­лель­но BD₁ про­ве­де­на плос­кость β.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость β про­хо­дит через се­ре­ди­ну ребра АА₁.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния куба плос­ко­стью β, если из­вест­но, что АВ  =  12.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де АВСDA₁B₁C₁D₁ АВ  =  2, АD  =  1, АА₁  =  3. Точка К лежит на ребре СС₁ так, что СK : С₁K  =  5 : 4.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые DB₁ и D₁K пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки D₁ до плос­ко­сти KА₁D.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABC лежит рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник АВС, в ко­то­ром АВ  =  4, Из­вест­но, что бо­ко­вая грань SBC пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию АВС, SB  =  SC, а вы­со­та пи­ра­ми­ды, про­ве­ден­ная из точки S, равна 112 . На реб­рах SB и SC от­ме­че­ны со­от­вет­ствен­но точки К и Р так, что ВК : SK  =  CP : SP  =  1 : 3.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ни­ем пи­ра­ми­ды плос­ко­стью АРК яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник.

б)  Най­ди­те объем мень­шей части пи­ра­ми­ды, на ко­то­рые её делит плос­кость АРК.

Дана пра­виль­ная пи­ра­ми­да PABCD с вер­ши­ной в точке Р. Через точку В пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой DP про­ве­де­на плос­кость Ω, ко­то­рая пе­ре­се­ка­ет DP в точке К.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые ВК и АС пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)   Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью Ω, если из­вест­но, что сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 6 и вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 6.

Точки М, N и К при­над­ле­жат со­от­вет­ствен­но реб­рам АD, AB и BC тет­ра­эд­ра ABCD, при­чем АМ : МD  =  2 : 3, ВN : АN  =  1 : 2, ВК  =  КС.

а)  По­строй­те се­че­ние тет­ра­эд­ра плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки М, N, K.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром се­ку­щая плос­кость делит ребро CD.

В ос­но­ва­нии тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды ABCD лежит пра­виль­ный тре­уголь­ник АВС. Бо­ко­вая грань пи­ра­ми­ды BCD пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию, BD  =  DC.

а)   По­строй­те се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через ребро ВС пер­пен­ди­ку­ляр­но ребру AD.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды BCМD, где М  — точка пе­ре­се­че­ния ребра АD и плос­ко­сти

се­че­ния, если сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды ABCD равна а бо­ко­вое ребро AD на­кло­не­но к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом

На диа­го­на­ли АВ₁ грани АВВ₁А₁ тре­уголь­ной приз­мы взята точка М так, что АМ : МВ₁  =  5 : 4.

а)  По­строй­те се­че­ние приз­мы плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку М па­рал­лель­но диа­го­на­лям А₁С и ВС₁ двух дру­гих гра­ней.

б)  Най­ди­те, в каком от­но­ше­нии плос­кость се­че­ния делит ребро СС₁.

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды SABC яв­ля­ет­ся рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник ABC, длина сто­ро­ны ко­то­ро­го равна Бо­ко­вое ребро SC пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния и имеет длину 2.

а)  До­ка­жи­те, что угол между скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся пря­мы­ми, одна из ко­то­рых про­хо­дит через точку S и се­ре­ди­ну ребра BC, а дру­гая про­хо­дит через точку С и се­ре­ди­ну ребра AB равен

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между этими скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся пря­мы­ми.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ на ребре С₁D₁ взята точка К так, что КС₁  =  3КD₁.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость АСК делит диа­го­наль BD₁ в от­но­ше­нии 4 : 1, счи­тая от точки В.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки D до плос­ко­сти АСК, если из­вест­но, что АВ  =  4, ВС  =  3, СС₁  =  2.

В пра­виль­ной пи­ра­ми­де PABCD на реб­рах АВ и РD взяты точки М и К со­от­вет­ствен­но, при­чем АМ : ВМ  =  1 : 3, DK : РК  =  4 : 3.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая ВР па­рал­лель­на плос­ко­сти МСК.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью МСК, если из­вест­но, что все ребра пи­ра­ми­ды равны 4.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC точка К  — се­ре­ди­на ребра АВ. На ребре SC взята точка М так, что SM : СМ  =  1 : 3.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая МК пе­ре­се­ка­ет вы­со­ту SО пи­ра­ми­ды в её се­ре­ди­не.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми МК и АС, если из­вест­но, что АВ  =  6, SA  =  4.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ АВ  =  ВС  =  4, СС₁  =  8. Точка К  — се­ре­ди­на ребра АВ, точка М  — се­ре­ди­на ребра ВС. Точка Р лежит на ребре DD₁ так, что DP : PD₁  =  3 : 5.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость КМР пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой DВ₁.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды, ос­но­ва­ни­ем ко­то­рой яв­ля­ет­ся се­че­ние па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью КМР, а вер­ши­ной  — точка D.

В па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ точка К  — се­ре­ди­на ребра АВ.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость СКD₁ делит объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да в от­но­ше­нии 7 : 17.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки D до плос­ко­сти СКD₁, если из­вест­но, что ребра АВ, АD и АА₁ по­пар­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны и равны со­от­вет­ствен­но 6, 4 и 6.

На бо­ко­вых реб­рах EA, EB, EC пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды ABCDE рас­по­ло­же­ны точки M, N, K со­от­вет­ствен­но, при­чем EM : EA  =  1 : 2, EN : EB  =  2 : 3, EK : EC  =  1 : 3 .

а)  По­строй­те се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки M, N, K.

б)  В каком от­но­ше­нии плос­кость (MNK) делит объем пи­ра­ми­ды?

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD равна 108, а пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти этой пи­ра­ми­ды равна 144.

а)  До­ка­жи­те, что угол между плос­ко­стью SAC и плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через вер­ши­ну S этой пи­ра­ми­ды, се­ре­ди­ну сто­ро­ны АВ и центр ос­но­ва­ния, равен 45°.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью SAC.

Ос­но­ва­ние и вы­со­та пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ равны AB=6, AA₁=4.

а)  Най­ди­те угол между пря­мы­ми A₁B и B₁C.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми A₁B и B₁C.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка О₁  — центр квад­ра­та АВСD, точка О₂  — центр квад­ра­та СС₁D₁D.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые А₁О₁ и В₁О₂  — скре­щи­ва­ю­щи­е­ся.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми А₁О₁ и В₁О₂, если ребро куба равно 2.

Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды DABC  — пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом C. Вы­со­та пи­ра­ми­ды про­хо­дит через се­ре­ди­ну ребра AC, а бо­ко­вая грань ACD  — рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник.

а)   До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через ребро BC и про­из­воль­ную точку M ребра AD,  — пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны D до этой плос­ко­сти, если M  — се­ре­ди­на ребра AD, а вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 6.

Куб це­ли­ком на­хо­дит­ся в пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с вер­ши­ной S так, что одна грань куба при­над­ле­жит ос­но­ва­нию, одно ребро це­ли­ком при­над­ле­жит грани SBC, а грани SAB и SAC со­дер­жат по одной вер­ши­не куба. Из­вест­но, что ребро АВ в 2 раза боль­ше вы­со­ты пи­ра­ми­ды.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость, про­хо­дя­щая через вер­ши­ны куба, при­над­ле­жа­щие гра­ням SAB и SAC, и вер­ши­ну пи­ра­ми­ды, пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ASD, где D  — се­ре­ди­на сто­ро­ны ВС.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­мов пи­ра­ми­ды и куба.

На бо­ко­вых реб­рах DB и DC тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды ABCD рас­по­ло­же­ны точки М и N так, что ВМ  =  MD и CN : ND  =  2 : 3. Через вер­ши­ну А ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды и точки М и N про­ве­де­на плос­кость α, пе­ре­се­ка­ю­щая ме­ди­а­ны бо­ко­вых гра­ней, про­ве­ден­ные из вер­ши­ны D, в точ­ках К, R и Т.

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка KTR со­став­ля­ет 5/22 от пло­ща­ди се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью α.

б)  Найти от­но­ше­ние объ­е­мов пи­ра­мид KRTC и ABCD.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды TABCD лежит тра­пе­ция ABCD , в ко­то­рой ВС||AD и AD : BC  =  2. Через вер­ши­ну Т пи­ра­ми­ды про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная пря­мой ВС и пе­ре­се­ка­ю­щая от­ре­зок АВ в точке М такой, что АМ : MB  =  2. Пло­щадь по­лу­чив­ше­го­ся се­че­ния равна 10, а рас­сто­я­ние от ребра ВС до плос­ко­сти се­че­ния равно 4.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость се­че­ния делит объем пи­ра­ми­ды в от­но­ше­нии 7 : 20.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де PABCDEF бо­ко­вое ребро на­кло­не­но к ос­но­ва­нию под углом

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти АРВ и DPE пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние ра­ди­у­са сферы, ка­са­ю­щей­ся всех гра­ней пи­ра­ми­ды, к ра­ди­у­су сферы, про­хо­дя­щей через все вер­ши­ны пи­ра­ми­ды.

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды FABCD яв­ля­ет­ся квад­рат ABCD. На ребре AF взята точка Е такая, что от­ре­зок СЕ пер­пен­ди­ку­ля­рен ребру AF. Про­ек­ция О точки Е на ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды лежит на от­рез­ке АС и делит его в от­но­ше­нии AO : OC  =  4 : 1. Угол ADF равен 90°.

а)  До­ка­жи­те, что ребро FC пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те раз­ность объ­е­мов пи­ра­мид FABCD и EABD, если из­вест­но, что АВ  =  1.

Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ равна а вы­со­та СС₁ равна 7,5. На ребре B₁C₁ от­ме­че­на точка Р так, что B₁P:PC₁  =  1 : 3. Точки Q и М яв­ля­ют­ся се­ре­ди­на­ми сто­рон АВ и A₁C₁ со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α па­рал­лель­на пря­мой АС и про­хо­дит через точки Р и Q.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая ВМ пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти α.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки М до плос­ко­сти α.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ из­вест­ны ребра АВ  =  6, AD  =  12, AA₁  =  10. Точка Е при­над­ле­жит от­рез­ку BD, при­чем ВЕ : ED  =  1 : 2. Плос­кость α про­хо­дит через точки А, Е и се­ре­ди­ну ребра ВВ₁.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью α яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным тре­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки В₁ до плос­ко­сти се­че­ния.

Ос­но­ва­ни­ем че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD яв­ля­ет­ся квад­рат ABCD со сто­ро­ной АВ  =  4. Бо­ко­вое ребро SC, рав­ное 4, пер­пен­ди­ку­ляр­но ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды. Плос­кость α, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну С па­рал­лель­но пря­мой BD, пе­ре­се­ка­ет ребро SA в точке М, при­чем SM : MA  =  1 : 2.

а)  До­ка­жи­те, что SA пер­пен­ди­ку­ляр­но α.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды SABCD плос­ко­стью α.

В ос­но­ва­нии тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды ABCD лежит тре­уголь­ник АВС, где АВ  =  ВС  =  5, АС  =  6. Бо­ко­вые ребра на­кло­не­ны к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом, синус ко­то­ро­го равен

а)  По­строй­те се­че­ние, про­хо­дя­щее через центр опи­сан­ной окруж­но­сти ос­но­ва­ния и пер­пен­ди­ку­ляр­ное пря­мой BD

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от пря­мой BD до пря­мой АС.

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит пря­мо­уголь­ная тра­пе­ция АВСD с ос­но­ва­ни­я­ми ВС и АD (ВС < АD), в ко­то­рой АВ  =  5, CD  =  4, ВС  =  6. Через точку С и се­ре­ди­ну ребра ВВ₁ па­рал­лель­но B₁D про­ве­де­на плос­кость β.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость β пе­ре­се­ка­ет ребро АА₁ в такой точке Р, что А₁Р  =  3АР.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды с вер­ши­ной в точке В, ос­но­ва­ни­ем ко­то­рой слу­жит се­че­ние приз­мы плос­ко­стью β, если из­вест­но, что ВВ₁  =  16.

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит ромб ABCD, при­чем AB  =  BD.

Точки М и N  — се­ре­ди­ны ребер В₁С₁ и АВ со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы плос­ко­стью MND₁  — мно­го­уголь­ник с пря­мым углом при вер­ши­не D₁.

б)  Най­ди­те пло­щадь ука­зан­но­го се­че­ния, если AB  =  8, AA₁  =  

На реб­рах NN₁ и KN куба KLMNK₁L₁M₁N₁ от­ме­че­ны такие точки P и Q, что Через точки M₁, P, Q про­ве­де­на плос­кость.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость делит объем куба в от­но­ше­нии 61 : 89

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки K до плос­ко­сти се­че­ния, если ребро куба равно 3.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ АВ  =  5, AD  =  6, AA₁  =  8, точка К  — се­ре­ди­на ребра DD₁.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые ВС и КС₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­мов, на ко­то­рые де­лит­ся пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед плос­ко­стью ВКС₁.

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 4, а бо­ко­вые ребра 5.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость A₁C₁E пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти BB₁E₁.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми A₁C₁E и ABC.

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Пусть l  — линия пе­ре­се­че­ния плос­ко­стей АСD₁ и ВDC₁.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые DB₁ и l пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми DB₁ и l, если ребро куба равно 2.

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де ABCD длины всех рёбер равны. Точка Р рав­но­уда­ле­на от вер­шин А и D, причём из­вест­но, что PB  =  PC и пря­мая РВ пер­пен­ди­ку­ляр­на вы­со­те тре­уголь­ни­ка АСD, опу­щен­ной из вер­ши­ны D.

а)  До­ка­жи­те, что точка Р лежит на пе­ре­се­че­нии высот пи­ра­ми­ды ABCD.

б)  Вы­чис­ли­те объем пи­ра­ми­ды ABCD, если из­вест­но, что

В ос­но­ва­нии SABCD лежит пря­мо­уголь­ник ABCD со сто­ро­на­ми AB  =  4 и BC  =   все бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды равны 4. На диа­го­на­ли BD ос­но­ва­ния ABCD от­ме­че­на точка Е, а на ребре AS  — точка F так, что SF  =  BE  =  3.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость CEF па­рал­лель­на SB.

б)  Пусть плос­кость CEF пе­ре­се­ка­ет ребро SD в точке Q. Най­ди­те рас­сто­я­ние от Q до плос­ко­сти АВС.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABCD лежит квад­рат ABCD со сто­ро­ной 8. Бо­ко­вое ребро SD пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния. Точка M  — се­ре­ди­на вы­со­ты пи­ра­ми­ды. Плос­кость ACM со­став­ля­ет угол 45° с плос­ко­стью ос­но­ва­ния.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая SB па­рал­лель­на плос­ко­сти ACM.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки В до плос­ко­сти ACM.