В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной 1. Ребро SA перпендикулярно плоскости основания и равно 2. Через вершину А параллельно диагонали BD проведено сечение, которое делит ребро SC в отношении 
считая от вершины.
а) Докажите, что плоскость сечения проходит через середину отрезка SO, где О — центр основания.
б) Найдите площадь сечения.
а) Введем координаты с началом в точке A и осями, направленными вдоль ребер AB, AD, AS. Тогда точки имеют координаты 
Обозначим за M точку, делящую ребро SC в отношении 
На прямой, проходящей через A параллельно BD лежит точка 
Значит, плоскость сечения проходит через точки A, 
M. Пусть уравнение этой плоскости имеет вид 
Подставляя в него координаты точек, получаем:
откуда 
Пусть, например, 
Итак, уравнение плоскости будет 
Центр основания O имеет координаты 
поэтому середина OS имеет координаты 
Нетрудно заметить, что эта точка подходит в уравнение плоскости.
б) Все точки на прямой SD имеют x-координату 
при этом 
Значит, пересечение SD плоскостью сечения имеет координаты 
Аналогично пересечение с прямой SB — точка 
Эти две точки вместе с A и M являются вершинами многоугольника в сечении. Его проекция на плоскость основания (см. рис.) разбивается на квадрат со стороной 
и два прямоугольных треугольника с катетами и 
поэтому его площадь равна 
Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания 
равен
тогда площадь сечения по теореме о площади фигуры и площади проекции равна 
Ответ: б) 