В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 проведена секущая плоскость, содержащая диагональ AC1, так, что сечение — ромб. Найдите площадь сечения, если AB = 3, BC = 2 и AA1 = 5.
Сразу заметим, что раз сечение четырехугольник, то оно должно пересекать два ребра параллелепипеда. Кроме того, поскольку диагонали ромба перпендикулярны, вершины сечения должны лежать в плоскости, проходящей через центр параллелепипеда перпендикулярно
Если эти вершины лежат на ребрах 
то диагонали ромба равны 
и 
откуда его площадь 
Действительно, одна из диагоналей ромба является диагональю параллелепипеда: 
Чтобы найти вторую диагональ, решим уравнение 
(это теорема Пифагора, дающая квадрат стороны ромба, примененная к треугольникам ABQ и CBQ, где Q — вершина ромба, лежащая на ребре BB1). Находим: 
применяем теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику AOQ, где О — точка пересечения диагоналей ромба, получаем: 
откуда вторая диагональ ромба равна 
Если же они лежат на ребрах 
и BC, то расстояние от вершины 
до одной из них не меньше 
а до другой — не больше 
поэтому сечение не может быть ромбом. Аналогично разбирается случай ребер 
и 
Ответ: