Пусть SABCD  — за­дан­ная пи­ра­ми­да, O  — центр его ос­но­ва­ния.

а)  По­стро­им по­сле­до­ва­тель­но:

1)  От­ре­зок SO. (SO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды).

2)  От­ре­зок

3)  Пря­мую

4)  От­рез­ки AE, TE, KT, AK.

Че­ты­рех­уголь­ник AKTE  — ис­ко­мое се­че­ние. До­ка­жем это.

Так как через две пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся пря­мые AT и PK про­хо­дит един­ствен­ная плос­кость, то все точки A, K, T и Е будут ле­жать в одной плос­ко­сти.

Оста­лось до­ка­зать, что эта плос­кость будет пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой SC. Для этого до­ста­точ­но до­ка­зать, что пря­мая SC будет пер­пен­ди­ку­ляр­на еще какой-либо пря­мой, от­лич­ной от АТ, ле­жа­щей в этой плос­ко­сти, на­при­мер, пря­мой KE.

Пре­жде до­ка­жем, что

По свой­ству квад­ра­та имеем: Из пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти SO и (ABC) сле­ду­ет SO и AC  — две пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся пря­мые плос­ко­сти ASC. Зна­чит, В таком слу­чае пря­мая BD пер­пен­ди­ку­ляр­на к любой пря­мой, ле­жа­щей в плос­ко­сти ASC, в том числе и к пря­мой SC. Но KE || BD по по­стро­е­нию. От­сю­да:

За­ме­тим, что:

  — рав­но­сто­рон­ний, так как Сле­до­ва­тель­но, SO  — вы­со­та, ме­ди­а­на и бис­сек­три­са

По­сколь­ку AT  — по по­стро­е­нию вы­со­та рав­но­сто­рон­не­го AT  — его ме­ди­а­на, т. е. так как KE || BD, то   — рав­но­сто­рон­ний, при­чем SP  — его бис­сек­три­са, сле­до­ва­тель­но, и ме­ди­а­на KP  =  PE; P  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан : SO и AT; сле­до­ва­тель­но, а из па­рал­лель­но­сти PK и OD по тео­ре­ме Фа­ле­са сле­ду­ет:

Так как за­дан­ная пи­ра­ми­да пра­виль­ная, то она зер­каль­но сим­мет­рич­на от­но­си­тель­но плос­ко­сти ASC, от­сю­да:

По свой­ству от­но­ше­ния объ­е­мов тре­уголь­ных пи­ра­мид имеем:

Спо­соб 2.

В по тео­ре­ме ко­си­ну­сов будем иметь:

т. е.

В по этой же тео­ре­ме:

В

Как видим, в этом тре­уголь­ни­ке вы­пол­ня­ет­ся усло­вие тео­ре­мы, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, от­ку­да

Итак, ребро SC пи­ра­ми­ды пер­пен­ди­ку­ляр­но к двум пе­ре­се­ка­ю­щим­ся пря­мым АТ и KT, ле­жа­щим в плос­ко­сти по­стро­ен­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка AETK. Зна­чит, эта плос­кость пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру SC. Из пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти SC и (ETK) сле­ду­ет, что В таком слу­чае KT  =  ET как про­ек­ции рав­ных на­клон­ных SK и SE к (ETK), т. е. В пи­ра­ми­де SAETK с ос­но­ва­ни­ем AETK от­ре­зок ST  — вы­со­та пи­ра­ми­ды.

Зна­чит,

Ответ: б) 2.