а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Длина ребра куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 1. На ребре AA₁ взята точка E так, что длина от­рез­ка AE равна На ребре BC взята точка F так, что длина от­рез­ка BF равна Через центр куба и точки E и F про­ве­де­на плос­кость α.

а) Най­ди­те угол между плос­ко­стью ABC и α.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны B₁ до плос­ко­сти α.

Решите неравенство:

В окруж­ность с цен­тром О впи­сан тре­уголь­ник ABC Про­дол­же­ние бис­сек­три­сы AF угла A этого тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точке L, а ра­ди­ус AO пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке E. Пусть AH — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC. Из­вест­но, что

а) До­ка­жи­те, что AF — бис­сек­три­са угла EAH.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка OAL к пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка OEFL.

В два раз­лич­ных со­су­да на­ли­ты рас­тво­ры соли, при­чем в 1‐й сосуд на­ли­то 5 кг, а во вто­рой — 20 кг. При ис­па­ре­нии воды про­цент­ное со­дер­жа­ние соли в 1‐м со­су­де уве­ли­чи­лось в p раз, а во вто­ром — в раз. О чис­лах p и q из­вест­но, что Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство воды могло при этом ис­па­рить­ся из обоих со­су­дов вме­сте?

При каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a не­ра­вен­ство

вы­пол­не­но для лю­бо­го

а) Чему равно максимальное значение разности трёхзначного числа и суммы кубов его цифр?

б) Для какого числа оно достигается?

в) Чему равно минимальное значение этой разности?