а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Длина ребра куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 1. На ребре AA₁ взята точка E так, что длина от­рез­ка AE равна На ребре BC взята точка F так, что длина от­рез­ка BF равна Через центр куба и точки E и F про­ве­де­на плос­кость α.

а)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью ABC и α.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны B₁ до плос­ко­сти α.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В окруж­ность с цен­тром О впи­сан тре­уголь­ник ABC Про­дол­же­ние бис­сек­три­сы AF угла A этого тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точке L, а ра­ди­ус AO пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке E. Пусть AH  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что AF  — бис­сек­три­са угла EAH.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка OAL к пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка OEFL.

В два раз­лич­ных со­су­да на­ли­ты рас­тво­ры соли, при­чем в 1‐⁠й сосуд на­ли­то 5 кг, а во вто­рой  — 20 кг. При ис­па­ре­нии воды про­цент­ное со­дер­жа­ние соли (по массе) в пер­вом со­су­де уве­ли­чи­лось в p раз, а во вто­ром  — в q раз. О чис­лах p и q из­вест­но, что Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство воды могло при этом ис­па­рить­ся из обоих со­су­дов вме­сте?

При каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a не­ра­вен­ство

вы­пол­не­но для лю­бо­го

а)  Чему равно мак­си­маль­ное зна­че­ние раз­но­сти трёхзнач­но­го числа и суммы кубов его цифр?

б)  Для ка­ко­го числа оно до­сти­га­ет­ся?

в)  Чему равно ми­ни­маль­ное зна­че­ние этой раз­но­сти?