Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ на ребре С₁D₁ взята точка К так, что КС₁  =  3КD₁.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость АСК делит диа­го­наль BD₁ в от­но­ше­нии 4 : 1, счи­тая от точки В.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки D до плос­ко­сти АСК, если из­вест­но, что АВ  =  4, ВС  =  3, СС₁  =  2.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

а)  До­ка­жи­те, что сумма углов А, В, С, D, E в вер­ши­нах про­из­воль­ной 5‐ко­неч­ной везды равна 180° (рис. 1).

б)  Най­ди­те пло­щадь 5‐ко­неч­ной звез­ды, вер­ши­ны ко­то­рой сов­па­да­ют с пятью вер­ши­на­ми пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка, если из­вест­но, что сто­ро­на по­след­не­го равна 6 (рис. 2).

16 но­яб­ря Ни­ки­та взял в банке в кре­дит 1 млн. руб. на шесть ме­ся­цев. Усло­вия

воз­вра­та кре­ди­та та­ко­вы:

  — 28‐го числа каж­до­го ме­ся­ца долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 10% по срав­не­нию с 16‐м ислом те­ку­ще­го ме­ся­ца;

  — с 1‐го по 10‐е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — в слу­чае за­держ­ки вы­плат (от 1 до 5 дней) до­пол­ни­тель­но взи­ма­ют­ся пени: за каж­дые про­сро­чен­ные сутки 1% от суммы, ко­то­рую не­об­хо­ди­мо было вы­пла­тить в те­ку­щем ме­ся­це;

  — 16‐го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен со­став­лять не­ко­то­рую сумму в со­от­вет­ствии с таб­ли­цей:

Опре­де­ли­те сколь­ко тысяч руб­лей Ни­ки­та вы­пла­тит банку сверх взя­то­го кре­ди­та, если из­вест­но, что он осу­ществ­лял вы­пла­ты 7 де­каб­ря, 12 ян­ва­ря, 10 фев­ра­ля, 9 марта, 1 ап­ре­ля и 15 мая.

Найти все а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет ровно один ко­рень.

Чис­ло­вая по­сле­до­ва­тель­ность за­да­на фор­му­лой об­ще­го члена:

а)  Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние n, при ко­то­ром

б)  Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние n, при ко­то­ром сумма n пер­вых чле­нов этой по­сле­до­ва­тель­но­сти будет боль­ше, чем 0,99.

в)  Су­ще­ству­ют ли в дан­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти члены, ко­то­рые об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию?