а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC и делит сто­ро­ны AB и BC ос­но­ва­ния по­по­лам.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит бо­ко­вое ребро в от­но­ше­нии 1 : 3, счи­тая от вер­ши­ны S.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­мов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость α раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­ли вы­со­ты AA₁ и BB₁. Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг тре­уголь­ни­ка ANA₁, где точка N  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB, пе­ре­сек­ла пря­мую A₁B₁ в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AK ка­са­ет­ся окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей че­ты­рех­уголь­ни­ка ABA₁B₁ и тре­уголь­ни­ка CA₁B₁, если ∠ABC  =  45°, AB₁  =  BN  =  1.

В июле 2016 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в раз­ме­ре 4,2 млн руб. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы: 

— каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года. 

— с фев­ра­ля по июнь не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга.

— в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг оста­ет­ся рав­ным 4,2 млн руб.

— суммы вы­плат 2020 и 2021 годов равны.

Най­ди­те r, если в 2021 году долг будет вы­пла­чен пол­но­стью и общие вы­пла­ты со­ста­вят 6,1 млн руб.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет чет­ное число ре­ше­ний.

На доске на­пи­са­но 100 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, сумма ко­то­рых равна 5130.

а)  Может ли ока­зать­ся, что на доске на­пи­са­но число 300?

б)  Может ли ока­зать­ся, что на доске нет числа 17?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел, крат­ных 17, может быть на доске?