Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с вер­ши­ной S, со сто­ро­ной ос­но­ва­ния, рав­ной 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , и бо­ко­вым реб­ром 5 найти угол между пря­мой AB и плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны BC и DС и вер­ши­ну S.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ре­ше­ние:

Ко­ор­ди­нат­но-век­тор­ный спо­соб ре­ше­ния.

Вве­дем де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат, как по­ка­за­но на ри­сун­ке левая круг­лая скоб­ка 0;0;0 пра­вая круг­лая скоб­ка . Най­дем ко­ор­ди­на­ты нуж­ных точек. Для вы­чис­ле­ния ап­пли­ка­ты точки S най­дем AS. Ясно, что BD=4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та =8, OB=4,

SO= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: SB конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус SO в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 25 минус 16 конец ар­гу­мен­та =3.

A левая круг­лая скоб­ка 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ; минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ;0 пра­вая круг­лая скоб­ка , B левая круг­лая скоб­ка 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ;2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ;0 пра­вая круг­лая скоб­ка , F левая круг­лая скоб­ка минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ;0;0 пра­вая круг­лая скоб­ка , E левая круг­лая скоб­ка 0;2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ;0 пра­вая круг­лая скоб­ка , S левая круг­лая скоб­ка 0;0;3 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Со­ста­вим урав­не­ние плос­ко­сти SFE.

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 3c плюс d=0 , новая стро­ка 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та b плюс d=0 , новая стро­ка минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та a плюс d=0 . конец си­сте­мы .

c= минус дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , a= дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби , b= минус дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

 

Урав­не­ние плос­ко­сти SFE будет иметь вид: дробь: чис­ли­тель: dx, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: dy, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: dz, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс d=0 или 3x минус 3y минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та z плюс 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та =0. А нор­маль­ный век­тор минус \overlinen= левая круг­лая скоб­ка \overline3; минус 3; минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка , \overlineAB= левая круг­лая скоб­ка \overline0;4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ;0 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Если ис­ко­мый угол равен \varphi , то синус \varphi = дробь: чис­ли­тель: \left| \overlinen умно­жить на \overlineAB |, зна­ме­на­тель: \left| \overlinen | умно­жить на \left| \overlineAB | конец дроби = дробь: чис­ли­тель: \left| 3 умно­жить на 0 минус 3 умно­жить на 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 0 |, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 плюс 9 плюс 8 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 0 плюс 32 плюс 0 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 26 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 26 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

 

 

Эле­мен­тар­но-гео­мет­ри­че­ский спо­соб ре­ше­ния.

По­сту­пим так: Угол между пря­мой AB и плос­ко­стью FSE, оче­вид­но, равен углу между от­рез­ком OE и на­зван­ной плос­ко­стью. А для на­хож­де­ния си­ну­са ис­ко­мо­го угла до­ста­точ­но:

1.  Найти рас­сто­я­ние \rho от точки O до плос­ко­сти FSE. (При этом можно вос­поль­зо­вать­ся ме­то­дом объ­е­мов).

2.  Раз­де­лить \rho на длину от­рез­ка OE. Это и будет си­ну­сом ис­ко­мо­го угла.

Пред­ва­ри­тель­но вы­чис­лим не­ко­то­рые па­ра­мет­ры за­дан­ной пи­ра­ми­ды.

SE= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: SC конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус CE в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 25 минус 8 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та ; BD=4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та =8; FE=4; NE=2; OE=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ; SN= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: SE конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус NE в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 минус 4 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та ; SO= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: SE конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус OE в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 минус 8 конец ар­гу­мен­та =3.

Рас­смот­рим пи­ра­ми­ду SOFE.

V левая круг­лая скоб­ка SOFE пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби S левая круг­лая скоб­ка OFE пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на SO.

S левая круг­лая скоб­ка OFE пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =4; V левая круг­лая скоб­ка SOFE пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби S левая круг­лая скоб­ка OFE пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на SO= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 4 умно­жить на 3=4. Это с одной сто­ро­ны.

Но с дру­гой сто­ро­ны, V левая круг­лая скоб­ка SOFE пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби S левая круг­лая скоб­ка SFE пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на \rho.

\rho = дробь: чис­ли­тель: 3V левая круг­лая скоб­ка SOFE пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: S левая круг­лая скоб­ка SFE пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби ; S левая круг­лая скоб­ка SFE пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби FE умно­жить на SN дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 4 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та ; \rho= дробь: чис­ли­тель: 3 умно­жить на 4, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби ;

синус \varphi = дробь: чис­ли­тель: \rho , зна­ме­на­тель: OE конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 26 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

 

Ответ: арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 26 конец ар­гу­мен­та конец дроби

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 17
Методы геометрии: Метод ко­ор­ди­нат, Метод объ­е­мов
Классификатор стереометрии: Пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да, Се­че­ние, про­хо­дя­щее через три точки, Угол между пря­мой и плос­ко­стью
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025