СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 505943

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де с вер­ши­ной , со сто­ро­ной ос­но­ва­ния, рав­ной и бо­ко­вым реб­ром 5 найти угол между пря­мой и плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны и и вер­ши­ну

Ре­ше­ние.

Ре­ше­ние:

Ко­ор­ди­нат­но-век­тор­ный спо­соб ре­ше­ния.

Вве­дем де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат, как по­ка­за­но на ри­сун­ке Най­дем ко­ор­ди­на­ты нуж­ных точек. Для вы­чис­ле­ния ап­пли­ка­ты точки най­дем Ясно, что

Со­ста­вим урав­не­ние плос­ко­сти

 

Урав­не­ние плос­ко­сти будет иметь вид: или А нор­маль­ный век­тор

Если ис­ко­мый угол равен то

 

 

Эле­мен­тар­но-гео­мет­ри­че­ский спо­соб ре­ше­ния.

По­сту­пим так: Угол между пря­мой и плос­ко­стью , оче­вид­но, равен углу между от­рез­ком и на­зван­ной плос­ко­стью. А для на­хож­де­ния си­ну­са ис­ко­мо­го угла до­ста­точ­но:

1. Найти рас­сто­я­ние от точки до плос­ко­сти (При этом можно вос­поль­зо­вать­ся ме­то­дом объ­е­мов).

2. Раз­де­лить на длину от­рез­ка Это и будет си­ну­сом ис­ко­мо­го угла.

Пред­ва­ри­тель­но вы­чис­лим не­ко­то­рые па­ра­мет­ры за­дан­ной пи­ра­ми­ды.

Рас­смот­рим пи­ра­ми­ду

Это с одной сто­ро­ны.

Но с дру­гой сто­ро­ны,

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 17.
Методы геометрии: Метод координат, Метод объемов
Классификатор стереометрии: Правильная четырёхугольная пирамида, Сечение, проходящее через три точки, Угол между прямой и плоскостью