Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 527634

Плоскость α перпендикулярна основанию правильной треугольной пирамиды SABC и делит стороны AB и BC основания пополам.

а) Докажите, что плоскость α делит боковое ребро в отношении 1 : 3, считая от вершины S.

б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые плоскость α разбивает пирамиду.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть M и N середины AB и BC, соответственно, L — точка пересечения средней линии MN с высотой BH основания, точка O — центр основания. Так как плоскость α перпендикулярна основанию, она параллельна SO — высоте пирамиды. Значит, плоскость α будет пересекаться с плоскостью BSH по прямой KL параллельной SO, где K — точка пересечения плоскости α с ребром SB. Тогда по теореме Фалеса получаем:

 дробь: числитель: SK, знаменатель: KB конец дроби = дробь: числитель: OL, знаменатель: LB конец дроби = дробь: числитель: \dfrac23BH минус \dfrac12BH, знаменатель: \dfrac12BH конец дроби = дробь: числитель: \dfrac16, знаменатель: \dfrac12 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .

б) Заметим, что плоскость α отсекает от пирамиды SABC пирамиду KBMN с основанием BMN и вершиной K. Вычислим, какую часть составляет VKBMN от VSABC. Из пункта а) следует, что KL — высота KBMN и KL= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби SO. Кроме того, S_BMN= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби S_ABC, как площадь треугольника, отсекаемого средней линией MN. Значит,

V_KBMN= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби KL умножить на S_BMN= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби SO умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби S_ABC= дробь: числитель: 3, знаменатель: 16 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби SO умножить на S_ABC= дробь: числитель: 3, знаменатель: 16 конец дроби V_SABC.

Таким образом, отношение объёмов многогранников, на которые плоскость α разбивает пирамиду SABC, составляет 3 : 13.

 

Ответ: б) 3 : 13.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 280.
Методы геометрии: Метод объемов