Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д10 C2 № 514073
i

Через се­ре­ди­ну ребра AA1 куба ABCDA1B1C1D1 пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой ВD1 про­ве­де­на плос­кость α. 

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ни­ем куба плос­ко­стью α яв­ля­ет­ся пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми α и ABC.    

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  От­ме­тим се­ре­ди­ны ребер AA_1,A_1B_1,B_1C_1,C_1C,CD,DA (на­зо­вем их E,F,G,H,I,K со­от­вет­ствен­но) и до­ка­жем, что они все лежат в одной плос­ко­сти, пер­пен­ди­ку­ляр­ной BD_1, и об­ра­зу­ют пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник.

По­сколь­ку EF\parallel AB_1,AB_1\perp BA_1, а про­ек­ци­ей BD_1 на плос­кость AA_1B_1B яв­ля­ет­ся BA_1, то EF\perp BD_1. Ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ет­ся пер­пен­ди­ку­ляр­ность дру­гих ребер диа­го­на­ли BD_1. По­это­му все они лежат в одной плос­ко­сти  — пер­пен­ди­ку­ляр­ной к BD_1 и про­хо­дя­щей через E.

Длины всех сто­рон ше­сти­уголь­ни­ка равны, по­сколь­ку каж­дая сто­ро­на со­еди­ня­ет се­ре­ди­ны ребер на одной грани и, зна­чит, равна по­ло­ви­не диа­го­на­ли грани.

На­ко­нец,

FK= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: FA_1 в квад­ра­те плюс A_1A в квад­ра­те плюс AK в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та AA_1, а EF=EK= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби A_1D= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та AA_1.

По­это­му сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка EFK про­пор­ци­о­наль­ны чис­лам 1,1, ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , по­это­му угол ше­сти­уголь­ни­ка равен 120°. Ана­ло­гич­но осталь­ные углы ше­сти­уголь­ни­ка равны 120°.

б)  За­ме­тим, что плос­кость пе­ре­се­ка­ет плос­кость ABC по пря­мой KI. От­ме­тим точку T  — се­ре­ди­ну AB. Тогда TK\perp KI, по­сколь­ку BD\parallel TK, AC\parallel KI, BD\perp ACиFK\perp KI, по­сколь­ку в ше­сти­уголь­ни­ке мень­шая диа­го­наль пер­пен­ди­ку­ляр­на сто­ро­не. Зна­чит,

\angle левая круг­лая скоб­ка ABC, альфа пра­вая круг­лая скоб­ка =\angle левая круг­лая скоб­ка FK,KT пра­вая круг­лая скоб­ка =\angle FKT.

При этом

KT= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби BD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та AA_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби FT, по­это­му тан­генс \angle FKT= дробь: чис­ли­тель: FT, зна­ме­на­тель: KT конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: арк­тан­генс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 155
Классификатор стереометрии: Куб, Се­че­ние, па­рал­лель­ное или пер­пен­ди­ку­ляр­ное пря­мой, Угол между плос­ко­стя­ми
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025