Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C2 № 505737

В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 6 и BC = 9. Высота пирамиды проходит через точку O пересечения диагоналей AC и BD основания и равна  дробь: числитель: 3 корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби . Точки E и F лежат на ребрах AB и AD соответственно, причем AE = 4, AF = 6. Найти площадь многогранника, полученного при пересечении пирамиды с плоскостью, проходящей через точки E и F и параллельной ребру AS.

Спрятать решение

Решение.

а) Заметим для начала, что все ребра пирамиды равны  корень из 3 в квадрате плюс 4.5 в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 3 корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате =6. Проведем в гранях ABS и ADS отрезки EK и FM, параллельные AS. Отметим также точку T, для которой ST:TS=1:2. Докажем, что она лежит в плоскости сечения. Тогда искомое сечение - пятиугольник EKTMF.

Обозначим точку пересечения EF и AC за U.

Заметим, что треугольники AEF и ABD подобны (по двум сторонам) с коэффициентом  дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , поэтому их медианы относятся так же. Значит, AU= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби AO= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби AC, откуда треугольники ASC и UTC подобны (по двум сторонам) и, значит, AS\parallel UT, откуда и следует нужное утверждение. (AU действительно медиана, поскольку \angle FAU=\angle DAO), то есть AU составляет со стороной такой же угол, какой в подобном треугольнике составляет медиана.)

 

б) S_EKTMS=S_EKMF плюс S_KMT. Отметим середину SC -- точку V. Тогда OV\parallel AS как средняя линия. Заметим, что треугольник SCD равносторонний, поэтому DV=3 корень из 3.

Очевидно, EKMF — параллелограмм, поскольку EK\parallel AS\parallel FM и EK= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби AS=FM. Найдем его угол.

\angle KEF = \angle левая круглая скобка KE,EF правая круглая скобка =\angle левая круглая скобка SA,BD правая круглая скобка =\angle левая круглая скобка OV,OD правая круглая скобка =\angle VOD= арккосинус \left| дробь: числитель: OV в квадрате плюс OD в квадрате минус VD в квадрате , знаменатель: 2 умножить на OV умножить на OD конец дроби |=

 

= арккосинус \left| дробь: числитель: 9 плюс 9 умножить на 13 умножить на 0,25 минус 27, знаменатель: 2 умножить на 3 умножить на 1,5 корень из 13 конец дроби |= арккосинус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 корень из 13 конец дроби ,

поэтому

 синус \angle KEF= корень из 1 минус косинус в квадрате \angle KEF = дробь: числитель: корень из 183, знаменатель: 4 корень из 13 конец дроби

из

S_EKMF=EK умножить на EF умножить на синус \angle KEF= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби AS умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби BD умножить на дробь: числитель: корень из 183, знаменатель: 4 корень из 13 конец дроби =2 умножить на 2 корень из 13 умножить на дробь: числитель: корень из 183, знаменатель: 4 корень из 13 конец дроби = корень из 183.

Заметим, что середина TU лежит на KM (поскольку расстояние точки от пересечения этих отрезков до плоскости основания будет равно трети высоты пирамиды, как и на всем отрезке KM и это как раз половина расстояния от T до ABCD), поэтому расстояния от U и T до прямой KM равны, откуда

S_TKM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби d левая круглая скобка T,KM правая круглая скобка умножить на KM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби d левая круглая скобка U,KM правая круглая скобка умножить на KM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби S_EKMF.

Следовательно S_EKTMS= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби корень из 183.

 

Ответ:  дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби корень из 183.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 64.