В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 6 и BC = 9. Высота пирамиды проходит через точку O пересечения диагоналей AC и BD основания и равна 
Точки E и F лежат на ребрах AB и AD соответственно, причем AE = 4, AF = 6. Найти площадь многогранника, полученного при пересечении пирамиды с плоскостью, проходящей через точки E и F и параллельной ребру AS.
а) Заметим для начала, что все ребра пирамиды равны 
Проведем в гранях ABS и ADS отрезки EK и FM, параллельные 
Отметим также точку T, для которой 
Докажем, что она лежит в плоскости сечения. Тогда искомое сечение - пятиугольник 
Обозначим точку пересечения EF и AC за 
Заметим, что треугольники AEF и ABD подобны (по двум сторонам) с коэффициентом 
поэтому их медианы относятся так же. Значит, 
откуда треугольники ASC и UTC подобны (по двум сторонам) и, значит, 
откуда и следует нужное утверждение. (AU действительно медиана, поскольку 
), то есть AU составляет со стороной такой же угол, какой в подобном треугольнике составляет медиана.)
б) 
Отметим середину SC -- точку 
Тогда 
как средняя линия. Заметим, что треугольник SCD равносторонний, поэтому 
Очевидно, EKMF — параллелограмм, поскольку 
и 
Найдем его угол.
поэтому
из
Заметим, что середина TU лежит на KM (поскольку расстояние точки от пересечения этих отрезков до плоскости основания будет равно трети высоты пирамиды, как и на всем отрезке KM и это как раз половина расстояния от T до ABCD), поэтому расстояния от U и T до прямой KM равны, откуда
Следовательно 
Ответ: 