а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния в два раза мень­ше вы­со­ты приз­мы.

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние от точки О₁  — пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ос­но­ва­ния A₁B₁C₁D₁ до плос­ко­сти BDC₁ в три раза мень­ше вы­со­ты приз­мы;

б)   Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми С₁О и АВ, если сто­ро­на ос­но­ва­ния приз­мы равна 1, где О  — пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ос­но­ва­ния ABCD.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Два оди­на­ко­вых пра­виль­ных тре­уголь­ни­ка АВС и CDE рас­по­ло­же­ны на плос­ко­сти так, что имеют толь­ко одну общую точку С, и угол BCD мень­ше, чем Точка K  — се­ре­ди­на от­рез­ка АС, точка L  — се­ре­ди­на от­рез­ка СЕ, точка М  — се­ре­ди­на от­рез­ка BD.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник KLM  — рав­но­сто­рон­ний.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка BD, если пло­щадь тре­уголь­ни­ка KLM равна а сто­ро­на тре­уголь­ни­ка АВС равна 1.

Для за­пол­не­ния бас­сей­на ис­поль­зу­ют 2 на­со­са. Из­вест­но, что если вклю­чить пер­вый на 1 ч, а затем толь­ко вто­рой на 4 ч, бас­сейн будет за­пол­нен не мень­ше чем на чет­верть и не более чем на 40%. Если вклю­чить пер­вый на 3 ч, затем толь­ко вто­рой на 2 ч, бас­сейн будет на­пол­нен не мень­ше чем на 30% и не боль­ше чем на по­ло­ви­ну. На сколь­ко про­цен­тов мак­си­маль­но может на­пол­нить бас­сейн один пер­вый насос за 1 час?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых число кор­ней урав­не­ния равно наи­мень­ше­му зна­че­нию вы­ра­же­ния

Про на­ту­раль­ное число n из­вест­но, что оно де­лит­ся на 17, а число, по­лу­чен­ное из n вы­чер­ки­ва­ни­ем по­след­ней цифры, де­лит­ся на 13.

а)  При­ве­ди­те при­мер та­ко­го n.

б)  Сколь­ко су­ще­ству­ет трех­знач­ных чисел n?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее ше­сти­знач­ное число n.