а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)   Най­ди­те все корни на про­ме­жут­ке

В пря­мую приз­му ABCDA₁B₁C₁D₁, ниж­ним ос­но­ва­ни­ем ко­то­рой яв­ля­ет­ся ромб ABCD, а AA', BB', CC', DD'  — бо­ко­вые ребра, впи­сан шар ра­ди­у­са 1.

а)  По­строй­те плос­кость, про­хо­дя­щую через вер­ши­ны A, B, C'.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы этой плос­ко­стью, если из­вест­но, что

Ре­ши­те не­ра­вен­ство :

В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD за­клю­че­ны две окруж­но­сти оди­на­ко­во­го ра­ди­у­са r, ка­са­ю­щи­е­ся друг друга внеш­ним об­ра­зом. Центр пер­вой окруж­но­сти на­хо­дит­ся на от­рез­ке, со­еди­ня­ю­щем вер­ши­ну A с се­ре­ди­ной F сто­ро­ны CD, а центр вто­рой окруж­но­сти на­хо­дит­ся на от­рез­ке, со­еди­ня­ю­щем вер­ши­ну C с се­ре­ди­ной E сто­ро­ны AB. Пер­вая окруж­ность ка­са­ет­ся сто­рон AB, AD и CD, вто­рая окруж­ность ка­са­ет­ся сто­рон AB, BC и CD.

а)  До­ка­жи­те, что AB || CD;

б)  Най­ди­те АС, если r = 2.

В банк по­ме­ще­на сумма 3900 тысяч руб­лей под 50% го­до­вых. В конце каж­до­го из пер­вых че­ты­рех лет хра­не­ния после на­чис­ле­ния про­цен­тов вклад­чик до­пол­ни­тель­но вно­сил на счет одну и ту же фик­си­ро­ван­ную сумму. К концу пя­то­го года после на­чис­ле­ния про­цен­тов ока­за­лось, что раз­мер вкла­да уве­ли­чил­ся по срав­не­нию с пер­во­на­чаль­ным на 725%. Какую сумму вклад­чик еже­год­но до­бав­лял к вкла­ду?

Найти все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, для ко­то­рых не­ра­вен­ство имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

а)  Школь­ни­ки од­но­го клас­са в сен­тяб­ре хо­ди­ли в два ту­ри­сти­че­ских по­хо­да. В пер­вом по­хо­де маль­чи­ков было мень­ше об­ще­го числа участ­ни­ков этого по­хо­да, во вто­ром  — тоже мень­ше До­ка­жи­те, что в этом клас­се маль­чи­ки со­став­ля­ют мень­ше об­ще­го числа уче­ни­ков, если из­вест­но, что каж­дый из уче­ни­ков участ­во­вал по­край­ней мере в одном по­хо­де.

б)  Пусть в k-м по­хо­де, где 1 ≤ k ≤ n, маль­чи­ки со­став­ля­ли a_k-ю часть об­ще­го ко­ли­че­ства участ­ни­ков этого по­хо­да. Какую наи­боль­шую долю могут со­став­лять маль­чи­ки на общей встре­че всех ту­ри­стов (всех, кто участ­во­вал хотя бы в одном из n по­хо­дов)?