В кубе ABCDAA1B1C1D1 на продолжении ребра BB1 отмечена точка P так, что PB : BB1 = 3 : 4. Через точки А и P параллельно прямой ВD1 проведена плоскость α.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро DC в отношении 1 : 2.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью α, если известно, что PB = 18.
а) Отметим точку M на ребре CD так, чтобы DM : MC = 1 : 2. Заметим, что 
и 
Тогда
параллелен данной плоскости. Поскольку точка A в ней лежит, то и точка M в ней лежит.б) Поскольку PB = 18, то ребро куба имеет длину 24. Отметим на ребре 
точку K так, чтобы 
Тогда 
— параллелограмм (поскольку PB = 
), значит, точка K тоже лежит в плоскости сечения и сечение — треугольник AMK. Опустим из K перпендикуляр KH на AM. Тогда по теореме о трех перпендикулярах 
Теперь проведем вычисления.
Ответ: