Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 545521

В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые ребра равны 8. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ  — точка Е, а на ребре АМ  — точка L. Известно, что CD = BE = AL = 2.

а)  Докажите, что плоскость EDL делит объем пирамиды МАВС в отношении 1:8.

б)  Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки E, D и L.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что  дробь: числитель: AE, знаменатель: EB конец дроби = дробь: числитель: AD, знаменатель: DE конец дроби , следовательно, треугольники AED и ABC подобны с коэффициентом подобия  дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , и AD = ED = AE = 4. Пусть L'  — это проекция L на плоскость ABC, при этом L' принадлежит AO, где O  — это центр основания. Точка O лежит на ED, так как делит медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины. Треугольники ALL' и AMO подобны с коэффициентом подобия  дробь: числитель: AL, знаменатель: AM конец дроби = дробь: числитель: LL в степени ' , знаменатель: MO конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби . Тогда

 дробь: числитель: V_LAED, знаменатель: V_MABC конец дроби = дробь: числитель: LL в степени левая круглая скобка ' правая круглая скобка умножить на S_ADE, знаменатель: MO умножить на S_ABC конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби .

Значит,  дробь: числитель: V_LAED, знаменатель: V_DEBMC конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби , что и требовалось доказать.

 

б)  Плоскости ABC и LED пересекаются по прямой ED, AO перпендикулярно ED как высота, прямая LO перпендикулярна ED по теореме о трех перпендикулярах. Значит, угол LOA  — линейный угол двугранного угла. Имеем:

AO = 2 корень из 3,

MO= корень из AM в квадрате минус AO в квадрате =2 корень из 13,

 LL в степени левая круглая скобка ' правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби MO = дробь: числитель: корень из 13, знаменатель: 2 конец дроби ,

L в степени левая круглая скобка ' правая круглая скобка O= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби AO= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби корень из 3.

Таким образом,  тангенс \angle LOA = дробь: числитель: LL в степени левая круглая скобка ' правая круглая скобка , знаменатель: LO конец дроби = дробь: числитель: корень из 39, знаменатель: 9 конец дроби , откуда \angle LOA = арктангенс дробь: числитель: корень из 39, знаменатель: 9 конец дроби .

 

Ответ: б)  арктангенс дробь: числитель: корень из 39, знаменатель: 9 конец дроби .

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 313. (Часть C)