Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д10 C2 № 505827
i

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABC лежит тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми AB  =  AC  =  5 и BC  =  6. Ребро SA пер­пен­ди­ку­ляр­но ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды. Найти ра­ди­ус сферы, опи­сан­ной около пи­ра­ми­ды, если из­вест­но, что от­но­ше­ние ра­ди­у­са впи­сан­ной в пи­ра­ми­ду сферы к ребру SA равно 2/7.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Оче­вид­но, вы­со­та ос­но­ва­ния AH равна ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 в квад­ра­те минус 3 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =4, от­ку­да V_SABC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на SA умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби BC умно­жить на AH=4x, где x  — длина SA.

 

Как из­вест­но, r= дробь: чис­ли­тель: 3V, зна­ме­на­тель: S конец дроби , где r  — ра­ди­ус впи­сан­ной сферы, V  — объем тет­ра­эд­ра, S  — пло­щадь его по­верх­но­сти, от­ку­да

дробь: чис­ли­тель: 2x, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 12x, зна­ме­на­тель: 12 плюс 5x плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 16 конец ар­гу­мен­та конец дроби ;

 

84=24 плюс 10h плюс 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: h в квад­ра­те плюс 16 конец ар­гу­мен­та ;

h=3 (дру­гих кор­ней нет из-за мо­но­тон­но­сти левой части).

 

Про­ек­ция цен­тра опи­сан­ной сферы на плос­кость ос­но­ва­ния - центр опи­сан­ной окруж­но­сти ос­но­ва­ния, ра­ди­ус ко­то­рой равен дробь: чис­ли­тель: 5 умно­жить на 5 умно­жить на 6, зна­ме­на­тель: 4 умно­жить на 12 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби . По­сколь­ку центр сферы рав­но­уда­лен от A и S, он на­хо­дит­ся на вы­со­те дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби над плос­ко­стью ос­но­ва­ния. По­это­му ра­ди­ус сферы (рас­сто­я­ние от цен­тра до точки A) со­став­ля­ет ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 769 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 769 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 79
Классификатор стереометрии: Опи­сан­ный шар, Тре­уголь­ная пи­ра­ми­да, Шар
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025