В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ = ВС = 4, СС1 = 8. Точка К — середина ребра АВ, точка М — середина ребра ВС. Точка Р лежит на ребре DD1 так, что DP : PD1 = 3 : 5.
а) Докажите, что плоскость КМР перпендикулярна прямой DВ1.
б) Найдите объем пирамиды, основанием которой является сечение параллелепипеда плоскостью КМР, а вершиной — точка D.
Введем координаты с началом в точке A и с осями 
направленными вдоль прямых 
соответственно. Тогда координаты точек будут такими: 
Допустим уравнение плоскости KMP имеет вид 
тогда
Пусть 
тогда 
и получаем уравнение 
а) Поскольку вектор 
имеет координаты 
он перпендикулярен данной плоскости (ее вектор нормали 
).
б) Продлевая прямую KM до пересечения с прямыми DC и DA и соединяя затем полученные точки с точкой P мы получим требуемое сечение. То есть оно представляет собой пятиугольник с вершинами 
и еще двумя на ребрах 
и 
Поэтому его проекция на плоскость ABCD — пятиугольник ADCMK площади 
Кроме того, 
Тогда 
Ответ: 