ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Тип Д8 C1 № 511897

i

Дано уравнение $корень из: начало аргумента: синус x умножить на косинус x конец аргумента = минус косинус x.$

а)  Решите уравнение.

б)  Найдите его корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби Пи правая квадратная скобка .$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип Д10 C2 № 511898

i

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ AB = 2, AA₁ = 3.

а)  Докажите, что прямые AC₁ и BE перпендикулярны.

б)  Найдите расстояние между прямыми AC₁ и BE.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип Д12 C3 № 511899

i

Решите неравенство: $логарифм по основанию 2 в квадрате дробь: числитель: x минус 5, знаменатель: x плюс 2 конец дроби минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в квадрате умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка дробь: числитель: x минус 5, знаменатель: x плюс 2 конец дроби \geqslant0.$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип Д15 C4 № 511900

i

Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведены диаметры АС и АD этих окружностей.

а)  Докажите, что точки D, В и С лежат на одной прямой.

б)  Найдите произведение АD ∙ АС, если известно, что АВ = 8, а диаметр окружности, описанной около треугольника АDС, равен 10.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип Д16 C5 № 511901

i

Наблюдая за курсом акций АО «Наш газ  — для Вас», брокер заметил, что в понедельник стоимость этих акций всегда падает на 15%, во вторник  — всегда растёт на 20%, в среду  — всегда падает на 10%, в четверг  — никогда не меняется, в пятницу  — всегда растёт на 5%, в субботу и воскресенье торги не проводятся (Изменение стоимости в течение дня всегда происходит равномерно, причем цена продажи акций равна цене ее покупки в любой момент времени).

а)  Как изменится стоимость акций за неделю (уменьшится, увеличится или останется на прежнем уровне)?

б)  Какую наибольшую прибыль может получить брокер за неделю, покупая и продавая эти акции (это можно делать в любое время любого рабочего дня), если в начале недели он имеет 1 000 000 рублей?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип Д17 C6 № 511902

i

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

$система выражений x левая круглая скобка xy минус x в квадрате плюс 6x минус 9 правая круглая скобка =y левая круглая скобка 2x плюс y плюс 3 правая круглая скобка ,4 левая круглая скобка y минус ax правая круглая скобка =3 левая круглая скобка 4a минус 3 правая круглая скобка конец системы .$

имеет ровно два решения.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип Д19 C7 № 511903

i

Имеется набор отрезков, два самых коротких из них имеют длину 1, самый длинный имеет длину 45.

а)  Может ли оказаться, что ни из каких трёх отрезков нельзя составить треугольник, если набор состоит из 5 отрезков?

б)  Может ли оказаться, что ни из каких трёх отрезков нельзя составить треугольник, если набор состоит из 60 отрезков?

в)  Какое наибольшее число отрезков может быть в наборе, чтобы ни из каких трёх нельзя было составить треугольник?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

А. Ларин: Тренировочный вариант № 118.