Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Точки М, N и К при­над­ле­жат со­от­вет­ствен­но реб­рам АD, AB и BC тет­ра­эд­ра ABCD, при­чем АМ : МD  =  2 : 3, ВN : АN  =  1 : 2, ВК  =  КС.

а)  По­строй­те се­че­ние тет­ра­эд­ра плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки М, N, K.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром се­ку­щая плос­кость делит ребро CD.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Диа­го­на­ли АС и СЕ пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка ABCDEF раз­де­ле­ны точ­ка­ми M и N так, что АМ : АС  =  СN : СЕ и точки В, М и N лежат на одной пря­мой.

а)   До­ка­жи­те, что точки В, О, N и D лежат на одной окруж­но­сти (точка О  — центр ше­сти­уголь­ни­ка).

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние АМ : АС.

Мит­ро­фан хочет взять в кре­дит 1,7 млн. руб­лей. По­га­ше­ние кре­ди­та про­ис­хо­дит раз в год рав­ны­ми сум­ма­ми кроме, может быть, по­след­ней) после на­чис­ле­ния про­цен­тов. Став­ка про­цен­та 10% го­до­вых. На какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство лет может Мит­ро­фан взять кре­дит, чтобы еже­год­ные вы­пла­ты были не более 300 тысяч руб­лей?

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет ровно один ко­рень.

Три числа назовём хо­ро­шей трой­кой, если они могут быть дли­на­ми сто­рон тре­уголь­ни­ка.

Три числа назовём от­лич­ной трой­кой, если они могут быть дли­на­ми сто­рон пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка.

а)  Даны 5 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Может ли ока­зать­ся, что среди них не найдётся ни одной хо­ро­шей трой­ки?

б)  Даны 4 раз­лич­ных на­ту­раль­ных числа. Может ли ока­зать­ся, что среди них можно найти три от­лич­ных трой­ки?

в)  Даны 10 раз­лич­ных чисел (не­обя­за­тель­но на­ту­раль­ных). Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство от­лич­ных троек могло ока­зать­ся среди них?