Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C2 № 511862

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. На ребре CC1 взята точка K так, что CK : KC1 = 1 : 4, а на ребре A1C1 взята точка M так, что A1M : MC1 = 1 : 2.

А) Определите, в каком отношении плоскость BKM делит ребро A1B1 призмы.

Б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью BKM.

Спрятать решение

Решение.

А) Воспользуемся координатно-векторным методом исследования. Поместим призму в декартову систему координат, как показано на рисунке. Найдем координаты нужных точек: B левая круглая скобка 3 корень из 3;0;0 правая круглая скобка ,K левая круглая скобка 0;3;1 правая круглая скобка ,M левая круглая скобка 0; минус 1;5 правая круглая скобка . Будем искать уравнение плоскости BKM.

 система выражений  новая строка 3 корень из 3a плюс d=0 , новая строка 3b плюс c плюс d=0 , новая строка минус b плюс 5c плюс d=0 . конец системы .

 

a= минус дробь: числитель: d, знаменатель: 3 корень из 3 конец дроби ; система выражений  новая строка 3b плюс c плюс d=0 , новая строка минус 3b плюс 15c плюс 3d=0 ; конец системы .16c плюс 4d=0 равносильно c= минус дробь: числитель: d, знаменатель: 4 конец дроби ;b=5c плюс d;b= минус дробь: числитель: 5d, знаменатель: 4 конец дроби плюс d= минус дробь: числитель: d, знаменатель: 4 конец дроби .

Итак, уравнение плоскости имеет вид:  минус дробь: числитель: d, знаменатель: 3 корень из 3 конец дроби x минус дробь: числитель: d, знаменатель: 4 конец дроби y минус дробь: числитель: d, знаменатель: 4 конец дроби z плюс d=0 или 4x плюс 3 корень из 3y плюс 3 корень из 3z минус 12 корень из 3=0.

Пусть N — точка пересечения плоскости BKM и прямой A1B1. Найдем ее координаты.

Прямую A1B1 будет задавать система

 система выражений  новая строка дробь: числитель: x минус x_A_1, знаменатель: x_B_1 минус x_A_1 конец дроби = дробь: числитель: y минус y_A_1, знаменатель: y_B_1 минус y_A_1 конец дроби , новая строка z=5  конец системы .

A_1 левая круглая скобка 0; минус 3;5 правая круглая скобка ,B_1 левая круглая скобка 3 корень из 3;0;5 правая круглая скобка .

То есть

 система выражений  новая строка дробь: числитель: x, знаменатель: 3 корень из 3 конец дроби = дробь: числитель: y плюс 3, знаменатель: 3 конец дроби , новая строка z=5  конец системы . равносильно система выражений  новая строка x= корень из 3y плюс 3 корень из 3 , новая строка z=5 . конец системы .

Подставив полученные значения x и z в уравнение плоскости BKM, будем иметь:

4 корень из 3y плюс 12 корень из 3 плюс 3 корень из 3y плюс 15 корень из 3 минус 12 корень из 3=0 равносильно 7y= минус 15 равносильно y= минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 7 конец дроби ,

y= минус дробь: числитель: 15 корень из 3, знаменатель: 7 конец дроби плюс 3 корень из 3= дробь: числитель: 6 корень из 3, знаменатель: 7 конец дроби .

Итак, N левая круглая скобка дробь: числитель: 6 корень из 3, знаменатель: 7 конец дроби ; минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 7 конец дроби ;5 правая круглая скобка .

A_1N= корень из левая круглая скобка дробь: числитель: 6 корень из 3, знаменатель: 7 конец дроби минус 0 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 7 конец дроби плюс 3 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 5 минус 5 правая круглая скобка в квадрате = корень из дробь: числитель: 108, знаменатель: 49 конец дроби плюс дробь: числитель: 36, знаменатель: 49 конец дроби = дробь: числитель: 12, знаменатель: 7 конец дроби .

NB_1=A_1B_1 минус A_1N=6 минус дробь: числитель: 12, знаменатель: 7 конец дроби = дробь: числитель: 30, знаменатель: 7 конец дроби .  дробь: числитель: A_1N, знаменатель: NB_1 конец дроби = дробь: числитель: 12, знаменатель: 7 конец дроби : дробь: числитель: 30, знаменатель: 7 конец дроби = дробь: числитель: 12, знаменатель: 30 конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби .

Б) Сечением будет служить четырехугольник BNMK, диагоналями которого будут векторы

\overlineMB= левая круглая скобка \overline3 корень из 3;1; минус 5 правая круглая скобка , \overlineNK= левая круглая скобка \overline минус дробь: числитель: 6 корень из 3, знаменатель: 7 конец дроби ;3 плюс дробь: числитель: 15, знаменатель: 7 конец дроби ; минус 4 правая круглая скобка = левая круглая скобка \overline минус дробь: числитель: 6 корень из 3, знаменатель: 7 конец дроби ; дробь: числитель: 36, знаменатель: 7 конец дроби ; минус 4 правая круглая скобка .

 

|\overlineMB|= корень из 27 плюс 1 плюс 25= корень из 53;|\overlineNK|= корень из дробь: числитель: 108, знаменатель: 49 конец дроби плюс дробь: числитель: 1296, знаменатель: 49 конец дроби плюс 16= корень из дробь: числитель: 2188, знаменатель: 49 конец дроби = дробь: числитель: 2 корень из 547, знаменатель: 7 конец дроби .

 

\overlineMB умножить на \overlineNK=3 корень из 3 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 6 корень из 3, знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка плюс 1 умножить на дробь: числитель: 36, знаменатель: 7 конец дроби плюс 20= минус дробь: числитель: 54, знаменатель: 7 конец дроби плюс дробь: числитель: 36, знаменатель: 7 конец дроби плюс 20= дробь: числитель: минус 54 плюс 36 плюс 140, знаменатель: 7 конец дроби = дробь: числитель: 122, знаменатель: 7 конец дроби .

Пусть \varphi – угол между векторами \overlineMB и \overlineNK. Тогда

 косинус \varphi = дробь: числитель: \overlineMB умножить на \overlineNK, знаменатель: \left| MB | умножить на \left| NK | конец дроби = дробь: числитель: 122, знаменатель: 7 конец дроби : левая круглая скобка корень из 53 умножить на 2 умножить на дробь: числитель: корень из 547, знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 61, знаменатель: корень из 53 умножить на корень из 547 конец дроби .

 

 синус \varphi = корень из 1 минус дробь: числитель: 3721, знаменатель: 53 умножить на 547 конец дроби = корень из дробь: числитель: 28991 минус 3721, знаменатель: 53 умножить на 547 конец дроби = корень из дробь: числитель: 25270, знаменатель: 53 умножить на 547 конец дроби = корень из дробь: числитель: 361 умножить на 70, знаменатель: 53 умножить на 547 конец дроби = дробь: числитель: 19 корень из 70, знаменатель: корень из 53 умножить на корень из 547 конец дроби .

 

S левая круглая скобка BNMK правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \left| \overlineMB |\left| \overlineNK | синус \varphi = дробь: числитель: корень из 53 умножить на 2 корень из 547 умножить на 19 корень из 70, знаменатель: 2 умножить на 7 умножить на корень из 53 умножить на корень из 547 конец дроби = дробь: числитель: 19 корень из 70, знаменатель: 7 конец дроби .

 

Ответ: A) 2 : 5. Б)  дробь: числитель: 19 корень из 70, знаменатель: 7 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 114.