Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA1B1C1 сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 5. На ребре CC1 взята точка K так, что CK : KC1  =  1 : 4, а на ребре A1C1 взята точка M так, что A1M : MC1  =  1 : 2.

А)  Опре­де­ли­те, в каком от­но­ше­нии плос­кость BKM делит ребро A1B1 приз­мы.

Б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью BKM.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

А)  Вос­поль­зу­ем­ся ко­ор­ди­нат­но-век­тор­ным ме­то­дом ис­сле­до­ва­ния. По­ме­стим приз­му в де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Най­дем ко­ор­ди­на­ты нуж­ных точек: B левая круг­лая скоб­ка 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ;0;0 пра­вая круг­лая скоб­ка ,K левая круг­лая скоб­ка 0;3;1 пра­вая круг­лая скоб­ка ,M левая круг­лая скоб­ка 0; минус 1;5 пра­вая круг­лая скоб­ка . Будем ис­кать урав­не­ние плос­ко­сти BKM.

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та a плюс d=0 , новая стро­ка 3b плюс c плюс d=0 , новая стро­ка минус b плюс 5c плюс d=0 . конец си­сте­мы .

 

a= минус дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби ; си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 3b плюс c плюс d=0 , новая стро­ка минус 3b плюс 15c плюс 3d=0 ; конец си­сте­мы .16c плюс 4d=0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но c= минус дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ;b=5c плюс d;b= минус дробь: чис­ли­тель: 5d, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс d= минус дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Итак, урав­не­ние плос­ко­сти имеет вид: минус дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби x минус дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби y минус дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби z плюс d=0 или 4x плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та y плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та z минус 12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та =0.

Пусть N  — точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти BKM и пря­мой A1B1. Най­дем ее ко­ор­ди­на­ты.

Пря­мую A1B1 будет за­да­вать си­сте­ма

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: x минус x_A_1, зна­ме­на­тель: x_B_1 минус x_A_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: y минус y_A_1, зна­ме­на­тель: y_B_1 минус y_A_1 конец дроби , новая стро­ка z=5 конец си­сте­мы .

A_1 левая круг­лая скоб­ка 0; минус 3;5 пра­вая круг­лая скоб­ка ,B_1 левая круг­лая скоб­ка 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ;0;5 пра­вая круг­лая скоб­ка .

То есть

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: y плюс 3, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , новая стро­ка z=5 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та y плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , новая стро­ка z=5 . конец си­сте­мы .

Под­ста­вив по­лу­чен­ные зна­че­ния x и z в урав­не­ние плос­ко­сти BKM, будем иметь:

4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та y плюс 12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та y плюс 15 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та =0 рав­но­силь­но 7y= минус 15 рав­но­силь­но y= минус дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби ,

y= минус дробь: чис­ли­тель: 15 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

Итак, N левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби ;5 пра­вая круг­лая скоб­ка .

A_1N= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби минус 0 пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 5 минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 108, зна­ме­на­тель: 49 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 36, зна­ме­на­тель: 49 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

NB_1=A_1B_1 минус A_1N=6 минус дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 30, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби . дробь: чис­ли­тель: A_1N, зна­ме­на­тель: NB_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби : дробь: чис­ли­тель: 30, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 30 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Б)  Се­че­ни­ем будет слу­жить че­ты­рех­уголь­ник BNMK, диа­го­на­ля­ми ко­то­ро­го будут век­то­ры

\overlineMB= левая круг­лая скоб­ка \overline3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ;1; минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка , \overlineNK= левая круг­лая скоб­ка \overline минус дробь: чис­ли­тель: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби ;3 плюс дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби ; минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка \overline минус дробь: чис­ли­тель: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 36, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби ; минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

|\overlineMB|= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 27 плюс 1 плюс 25 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 53 конец ар­гу­мен­та ;|\overlineNK|= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 108, зна­ме­на­тель: 49 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1296, зна­ме­на­тель: 49 конец дроби плюс 16 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 2188, зна­ме­на­тель: 49 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 547 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

 

\overlineMB умно­жить на \overlineNK=3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 36, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби плюс 20= минус дробь: чис­ли­тель: 54, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 36, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби плюс 20= дробь: чис­ли­тель: минус 54 плюс 36 плюс 140, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 122, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

Пусть \varphi – угол между век­то­ра­ми \overlineMB и \overlineNK. Тогда

ко­си­нус \varphi = дробь: чис­ли­тель: \overlineMB умно­жить на \overlineNK, зна­ме­на­тель: \left| MB | умно­жить на \left| NK | конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 122, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби : левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 53 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 547 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 61, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 53 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 547 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

 

синус \varphi = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 3721, зна­ме­на­тель: 53 умно­жить на 547 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 28991 минус 3721, зна­ме­на­тель: 53 умно­жить на 547 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 25270, зна­ме­на­тель: 53 умно­жить на 547 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 361 умно­жить на 70, зна­ме­на­тель: 53 умно­жить на 547 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 19 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 70 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 53 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 547 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

 

S левая круг­лая скоб­ка BNMK пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \left| \overlineMB |\left| \overlineNK | синус \varphi = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 53 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 547 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 19 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 70 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 7 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 53 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 547 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 19 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 70 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

 

Ответ: A) 2 : 5. Б) дробь: чис­ли­тель: 19 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 70 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 114
Методы геометрии: Ис­поль­зо­ва­ние век­то­ров, Метод объ­е­мов
Классификатор стереометрии: Де­ле­ние от­рез­ка, Пло­щадь се­че­ния, Пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, Се­че­ние, про­хо­дя­щее через три точки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025