а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дана пра­виль­ная приз­ма АВСА₁В₁С₁, у ко­то­рой сто­ро­на ос­но­ва­ния АВ  =  4, а бо­ко­вое ребро АА₁  =  9, Точка М  — се­ре­ди­на ребра АС, а на ребре АА₁ взята точка Т так, что АТ  =  3.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость ВВ₁М делит от­ре­зок С₁Т по­по­лам.

б)  Плос­кость ВТС₁ делит от­ре­зок МВ₁ на две части. Найти длину боль­шей из них.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Бис­сек­три­сы углов С и D че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке К. Диа­го­наль BD раз­би­ва­ет от­ре­зок КС в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны С. При этом пло­щадь тре­уголь­ни­ка ACD в два раза боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка AKD.

а)  До­ка­жи­те, что угол CKD пря­мой.

б)  Най­ди­те ВК, если ВС  =  6.

15 де­каб­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на S тысяч руб­лей на 52 ме­ся­ца. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — 1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 1 % по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — со 2‐го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — 15‐го числа пер­вый и вто­рой ме­ся­цы долг дол­жен умень­шить­ся на 600 тысяч руб­лей, все осталь­ные ме­ся­цы долг дол­жен быть мень­ше долга на 15‐е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца на a тысяч руб­лей.

Най­ди­те S, если всего банку будет вы­пла­че­но 4405,5 ты­ся­чи руб­лей.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два раз­лич­ных корня.

На окруж­но­сти не­ко­то­рым об­ра­зом рас­ста­ви­ли на­ту­раль­ные числа от 4 до 30 (каж­дое число по­став­ле­но по од­но­му разу). Затем для каж­дой пары со­сед­них чисел нашли раз­ность боль­ше­го и мень­ше­го.

а)  Могли ли все по­лу­чен­ные раз­но­сти быть не мень­ше 14?

б)  Могли ли все по­лу­чен­ные раз­но­сти быть не мень­ше 13?

в)  По­ми­мо по­лу­чен­ных раз­но­стей, для каж­дой пары чисел, сто­я­щих через одно, нашли раз­ность боль­ше­го и мень­ше­го. Для ка­ко­го наи­боль­ше­го це­ло­го числа k можно так рас­ста­вить числа, чтобы все раз­но­сти были не мень­ше k?