Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C2 № 505695

У Северного полюса, на острове Шпицберген в чертогах Снежной королевы хранился небывалой красоты ледяной алмаз в форме тетраэдра SABC. В Новогоднюю ночь злой тролль похитил часть алмаза, и эта часть имеет форму тетраэдра SAKM. Его верные ученики и от оставшейся части взяли себе кусок и тоже в форме тетраэдра — KABC. Снежной королеве осталась часть алмаза, и она имеет форму тетраэдра CAKM. Какую часть первоначального алмаза оставили Снежной королеве тролль и ученики? В треугольнике ABC угол B равен 90°, AB = 3, BC = 4, AS перпендикулярно плоскости ABC, AS = 4, AK перпендикулярно SB, AM перпендикулярно SC.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что M лежит на ребре SC, K — на ребре SB и являются основаниями соответствующих высот.

Поскольку прямая CB перпендикулярна прямым AB и CB, она перпендикулярна плоскости ABS. Плоскости ABS и CBS пересекаются по прямой BS, перпендикулярной AK, поэтому прямая AK перпендикулярна плоскости CBS.

Следовательно, тетраэдры SABC и CAKM имеют общую высоту AK, поэтому их объемы относятся как их основания.

Отрезок AK — высота прямоугольного треугольника ABS, проведенная к гипотенузе BS. Поэтому  дробь: числитель: BK, знаменатель: KS конец дроби \underset левая круглая скобка * правая круглая скобка \mathop= дробь: числитель: 3 в квадрате , знаменатель: 4 в квадрате конец дроби и S_CKS = дробь: числитель: 16, знаменатель: 25 конец дроби S_CBS.

Далее, отрезок AM — высота прямоугольного треугольника CAS, проведенная к гипотенузе CS. Поэтому  дробь: числитель: CM, знаменатель: MS конец дроби \underset левая круглая скобка * правая круглая скобка \mathop= дробь: числитель: 5 в квадрате , знаменатель: 4 в квадрате конец дроби и S_CKM= дробь: числитель: 25, знаменатель: 41 конец дроби S_CKS.

Итак, S_CKM= дробь: числитель: 25, знаменатель: 41 конец дроби умножить на дробь: числитель: 16, знаменатель: 25 конец дроби S_CBS= дробь: числитель: 16, знаменатель: 41 конец дроби S_CBS, откуда V_CAKM= дробь: числитель: 16, знаменатель: 41 конец дроби V_SABC.

 

Ответ:  дробь: числитель: 16, знаменатель: 41 конец дроби .

 

Укажем другой подход.

Найдем, какую часть объема исходного тетраэдра SABC составляют отсеченные тетраэдры KABC и SAKM.

Тетраэдры SABC и KABC имеют общее основание, поэтому их объемы относятся как их высоты. Высоты, в свою очередь, относятся как гипотенузы соответствующих подобных треугольников:

 дробь: числитель: V_AKBC, знаменатель: V_SABC конец дроби = дробь: числитель: d левая круглая скобка K,ABC правая круглая скобка , знаменатель: d левая круглая скобка S,ABC правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: KB, знаменатель: SB конец дроби \underset левая круглая скобка * правая круглая скобка \mathop= дробь: числитель: AB в квадрате , знаменатель: SB в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: 25 конец дроби

(использовано свойство прямоугольного треугольника, см. примечание).

Далее,

 дробь: числитель: V_SAKM, знаменатель: V_SABC конец дроби = дробь: числитель: d левая круглая скобка M,SAK правая круглая скобка , знаменатель: d левая круглая скобка C,SAB правая круглая скобка конец дроби умножить на дробь: числитель: S_AKS, знаменатель: S_ABS конец дроби = дробь: числитель: d левая круглая скобка M,SA правая круглая скобка , знаменатель: d левая круглая скобка C,SA правая круглая скобка конец дроби умножить на дробь: числитель: KS, знаменатель: BS конец дроби = дробь: числитель: MS, знаменатель: CS конец дроби умножить на дробь: числитель: KS, знаменатель: BS конец дроби \underset левая круглая скобка * правая круглая скобка \mathop= дробь: числитель: 16, знаменатель: 41 конец дроби умножить на дробь: числитель: 16, знаменатель: 25 конец дроби .

Найдем, какую часть объема составляет оставшаяся часть тетраэдра:

 дробь: числитель: V_CAKM, знаменатель: V_SABC конец дроби =1 минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 25 конец дроби минус дробь: числитель: 16, знаменатель: 41 конец дроби умножить на дробь: числитель: 16, знаменатель: 25 конец дроби = дробь: числитель: 16, знаменатель: 25 конец дроби минус дробь: числитель: 16, знаменатель: 41 конец дроби умножить на дробь: числитель: 16, знаменатель: 25 конец дроби = дробь: числитель: 41 минус 16, знаменатель: 41 конец дроби умножить на дробь: числитель: 16, знаменатель: 25 конец дроби = дробь: числитель: 16, знаменатель: 41 конец дроби .

 

Приведем ещё одно решение.

Объемы тетраэдров с сонаправленными ребрами относятся как произведения этих ребер. Поэтому:

 дробь: числитель: V_BAKC, знаменатель: V_SABC конец дроби = дробь: числитель: BA умножить на BC умножить на BK, знаменатель: BA умножить на BC умножить на BS конец дроби = дробь: числитель: BK, знаменатель: BS конец дроби \underset левая круглая скобка * правая круглая скобка \mathop= дробь: числитель: AB в квадрате , знаменатель: BS в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: конец дроби 25.

Аналогично,

 дробь: числитель: V_SAKM, знаменатель: V_SABC конец дроби = дробь: числитель: SA умножить на SK умножить на SM, знаменатель: SA умножить на SB умножить на SC конец дроби = дробь: числитель: SK умножить на SM, знаменатель: SB умножить на SC конец дроби \underset левая круглая скобка * правая круглая скобка \mathop= дробь: числитель: SA в квадрате , знаменатель: SB в квадрате конец дроби умножить на дробь: числитель: SA в квадрате , знаменатель: SC в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 256, знаменатель: 1025 конец дроби .

Тогда

 дробь: числитель: V_AKСM, знаменатель: V_SABC конец дроби = 1 минус дробь: числитель: 9, знаменатель: конец дроби 25 минус дробь: числитель: 256, знаменатель: 1025 конец дроби = дробь: числитель: 16, знаменатель: 41 конец дроби .

 

Примечание 1.

(*) Во всех решениях использована следующая теорема: в прямоугольном треугольнике с катетами а и b и гипотенузой с, высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки  дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: c конец дроби и  дробь: числитель: b в квадрате , знаменатель: c конец дроби . Отношение этих отрезков к гипотенузе равны  дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: c в квадрате конец дроби и  дробь: числитель: b в квадрате , знаменатель: c в квадрате конец дроби .

 

Примечание 2.

В последнем решении можно было бы заметить, что  дробь: числитель: BK, знаменатель: BS конец дроби = 1 минус дробь: числитель: SK, знаменатель: BS конец дроби , откуда следует общая формула для ответа:

 дробь: числитель: V_AKСM, знаменатель: V_SABC конец дроби =1 минус дробь: числитель: BK, знаменатель: BS конец дроби минус дробь: числитель: SK умножить на SM, знаменатель: SB умножить на SC конец дроби = дробь: числитель: SK, знаменатель: BS конец дроби умножить на дробь: числитель: SC минус SM, знаменатель: SC конец дроби = дробь: числитель: SK, знаменатель: SB конец дроби умножить на дробь: числитель: MC, знаменатель: SC конец дроби .
Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 57.
Классификатор стереометрии: Объем как сумма объемов частей, Тетраэдр