Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C2 № 521448

В правильной пирамиде PABCD на ребрах АВ и РD взяты точки М и К соответственно, причем АМ : ВМ = 1 : 3, DK : РК = 4 : 3.

а)  Докажите, что прямая ВР параллельна плоскости МСК.

б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью МСК, если известно, что все ребра пирамиды равны 4.

Спрятать решение

Решение.

а)  Пусть AB=CD=4x, тогда MB=3x, а в трапеции BMDC имеем BO:OD=BM:CD=3:4=PK:DK, где O  — точка пересечения BD и CM. Следовательно, OK\parallel TP, откуда и следует утверждение задачи.

 

б)  Проведем в плоскости грани ABP прямую MT\parallel BP. Тогда AT:TP=1:3 и MTKC  — искомое сечение. Вычислим длины его сторон и одной диагонали.

 

CM= корень из MB в квадрате плюс BC в квадрате = корень из 9 плюс 16=5;

 

TM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби BP=1;

 

CK= корень из PK в квадрате плюс PC в квадрате минус 2PK умножить на PC косинус 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка = корень из дробь: числитель: 144, знаменатель: 49 конец дроби плюс 16 минус дробь: числитель: 48, знаменатель: 7 конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 7 конец дроби корень из 37;

 

TK= корень из PK в квадрате плюс PT в квадрате минус 2PK умножить на PT косинус 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка = корень из дробь: числитель: 144, знаменатель: 49 конец дроби плюс 9 минус дробь: числитель: 36, знаменатель: 7 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби корень из 37.

 

Поскольку \triangle PAC=\triangle DAC по трем сторонам, \angle CPT=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка и CT= корень из PC в квадрате плюс PT в квадрате = корень из 16 плюс 9=5.

 

Теперь вычислим площадь. S_MTKC=S_MTC плюс S_TKC.

S_TCM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на TM умножить на корень из TC в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби TM в квадрате = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби корень из 11.

Площадь второго треугольника вычислим по формуле Герона:

16S_TKC в квадрате =
= минус левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 49 конец дроби умножить на 37 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: 16, знаменатель: 49 конец дроби умножить на 37 правая круглая скобка в квадрате минус 625 плюс 2 умножить на 25 умножить на дробь: числитель: 9, знаменатель: 49 конец дроби умножить на 37 плюс 2 умножить на 25 умножить на дробь: числитель: 16, знаменатель: 49 конец дроби умножить на 37 плюс  2 умножить на дробь: числитель: 16, знаменатель: 49 конец дроби умножить на 37 умножить на дробь: числитель: 9, знаменатель: 49 конец дроби умножить на 37=

 

= минус левая круглая скобка дробь: числитель: 16, знаменатель: 49 конец дроби умножить на 37 минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 49 конец дроби умножить на 37 правая круглая скобка в квадрате плюс 25 левая круглая скобка 2 умножить на дробь: числитель: 9, знаменатель: 49 конец дроби умножить на 37 плюс 2 умножить на дробь: числитель: 16, знаменатель: 49 конец дроби умножить на 37 минус 25 правая круглая скобка =

 

= минус дробь: числитель: 37 в квадрате , знаменатель: 7 в квадрате конец дроби плюс 25 левая круглая скобка дробь: числитель: 50, знаменатель: 49 конец дроби умножить на 37 минус 25 правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 37 в квадрате , знаменатель: 7 в квадрате конец дроби плюс 25 в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 49 конец дроби умножить на 37 минус 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 25 в кубе минус 37 в квадрате , знаменатель: 49 конец дроби = дробь: числитель: 16 умножить на 891, знаменатель: 49 конец дроби .

Поэтому S_TKC= дробь: числитель: 9, знаменатель: 7 конец дроби корень из 11.

 

Ответ: S_MTKC= дробь: числитель: 57, знаменатель: 28 конец дроби корень из 11.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 212.