Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Все ребра пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды FABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD равны 7. Точки P, Q, R лежат на реб­рах FA, AB и BC со­от­вет­ствен­но, при­чем FP  =  BR  =  4, AQ  =  3.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость PQR пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру FD.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны D до плос­ко­сти PQR.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В окруж­ность ра­ди­у­са R впи­сан че­ты­рех­уголь­ник ABCD, P  — точка пе­ре­се­че­ния его диа­го­на­лей, AB  =  CD  =  5, AD > BC. Вы­со­та, опу­щен­ная из точки В на сто­ро­ну AD, равна 3, а пло­щадь тре­уголь­ни­ка ADP равна 

а)  До­ка­жи­те, что ABCD  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция 

б)  Най­ди­те сто­ро­ны AD, BC и ра­ди­ус окруж­но­сти R.

Стро­и­тель­ной ор­га­ни­за­ции не­об­хо­ди­мо по­стро­ить не­ко­то­рое ко­ли­че­ство оди­на­ко­вых домов общей пло­ща­дью 2500 м². Сто­и­мость од­но­го дома пло­ща­дью a м² скла­ды­ва­ет­ся из сто­и­мо­сти ма­те­ри­а­лов тыс. руб, сто­и­мо­сти стро­и­тель­ных работ тыс.руб и сто­и­мо­сти от­де­лоч­ных работ тыс. руб. Числа p₁, p₂, p₃ яв­ля­ют­ся по­сле­до­ва­тель­ны­ми чле­на­ми гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии, их сумма равна 21, а про­из­ве­де­ние равно 64. Если по­стро­ить 63 дома, то за­тра­ты на ма­те­ри­а­лы будут мень­ше, чем за­тра­ты на стро­и­тель­ные и от­де­лоч­ные ра­бо­ты. Сколь­ко сле­ду­ет по­стро­ить домов, чтобы общие за­тра­ты были ми­ни­маль­ны­ми?

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

а)  На доске за­пи­са­ны числа: 4, 14, 24, ..., 94, 104. Можно ли сте­реть сна­ча­ла одно число из за­пи­сан­ных, потом сте­реть еще два, потом  — еще три, и, на­ко­нец, сте­реть еще че­ты­ре числа так, чтобы после каж­до­го сти­ра­ния сумма остав­ших­ся на доске чисел де­ли­лась на 11?

б)  В стро­ку вы­пи­са­но 23 на­ту­раль­ных числа (не обя­за­тель­но раз­лич­ных). До­ка­жи­те, что между ними можно так рас­ста­вить скоб­ки, знаки сло­же­ния и умно­же­ния, что зна­че­ние по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния будет де­лить­ся на 2000 на­це­ло.