а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни на про­ме­жут­ке

Через се­ре­ди­ну диа­го­на­ли куба про­ве­де­на плос­кость пер­пен­ди­ку­ляр­но этой диа­го­на­ли. Найти от­но­ше­ние пло­ща­ди се­че­ния куба дан­ной плос­ко­стью к пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти куба.

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств:

Длины со­сед­них сто­рон впи­сан­но­го в окруж­ность че­ты­рех­уголь­ни­ка от­ли­ча­ют­ся на 1. Длина наи­мень­шей из них также равна 1. Найти ра­ди­ус окруж­но­сти.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых при любых зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра b урав­не­ние имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

Рас­смат­ри­ва­ет­ся набор гирек, масса каж­дой из ко­то­рых  — целое число грам­мов, а общая масса всех гирек равна 500 грам­мам. Такой набор на­зы­ва­ет­ся пра­виль­ным, если любое тело, име­ю­щее массу, вы­ра­жен­ную целым чис­лом грам­мов от 1 до 500, может быть урав­но­ве­ше­но не­ко­то­рым ко­ли­че­ством гирек на­бо­ра и при­том един­ствен­ным об­ра­зом (тело кла­дет­ся на одну чашу весов, гирь­ки  — на дру­гую; два спо­со­ба урав­но­ве­ши­ва­ния, раз­ли­ча­ю­щи­е­ся лишь за­ме­ной не­ко­то­рых гирек на дру­гие той же массы, счи­та­ют­ся оди­на­ко­вы­ми).

а)  Яв­ля­ет­ся ли пра­виль­ным набор, со­сто­я­щий из 167 гирек мас­сой по од­но­му грам­му, одной гирь­ки мас­сой 165 грам­мов и одной гирь­ки мас­сой 168 грам­мов?

б)  При­ве­ди­те при­мер пра­виль­но­го на­бо­ра, в ко­то­ром не все гирь­ки по од­но­му грам­му.

в)  Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных пра­виль­ных на­бо­ров? (Два на­бо­ра раз­лич­ны, если не­ко­то­рая гирь­ка участ­ву­ет в этих на­бо­рах не­оди­на­ко­вое число раз.)