а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABCD лежит квад­рат ABCD со сто­ро­ной 8. Бо­ко­вое ребро SD пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния. Точка M  — се­ре­ди­на вы­со­ты пи­ра­ми­ды. Плос­кость ACM со­став­ля­ет угол 45° с плос­ко­стью ос­но­ва­ния.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая SB па­рал­лель­на плос­ко­сти ACM.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки В до плос­ко­сти ACM.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Точка M пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка ABC, вер­ши­на A и се­ре­ди­ны сто­рон AB и AC лежат на одной окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки AKB и BKM по­доб­ны, где K  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC.

б)  Най­ди­те длину AK, если

Фирма имеет воз­мож­ность ре­кла­ми­ро­вать свою про­дук­цию, ис­поль­зуя мест­ные радио  — и те­ле­ви­зи­он­ную сети. За­тра­ты на ре­кла­му в бюд­же­те фирмы огра­ни­че­ны ве­ли­чи­ной 1000$ в месяц. Каж­дая ми­ну­та ра­дио­ре­кла­мы об­хо­дит­ся в 5$, а каж­дая ми­ну­та те­ле­ре­кла­мы  — в 100$. Фирма хо­те­ла бы ис­поль­зо­вать ра­дио­сеть, по край­ней мере, в два раза чаще, чем сеть те­ле­ви­де­ния, но при этом фирма ре­ши­ла, что время ра­дио­ре­кла­мы не долж­но пре­вы­шать двух часов. Опыт про­шлых лет по­ка­зал, что объем сбыта, ко­то­рый обес­пе­чи­ва­ет каж­дая ми­ну­та те­ле­ре­кла­мы, в 25 раз боль­ше сбыта, обес­пе­чи­ва­е­мо­го одной ми­ну­той ра­дио­ре­кла­мы. Опре­де­ли­те оп­ти­маль­ное рас­пре­де­ле­ние фи­нан­со­вых средств, еже­ме­сяч­но от­пус­ка­е­мых на ре­кла­му, между радио- и те­ле­ре­кла­мой, если время можно по­ку­пать толь­ко по­ми­нут­но.

При каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a си­сте­ма

имеет не менее двух ре­ше­ний?

В воз­рас­та­ю­щей по­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чисел каж­дые три по­сле­до­ва­тель­ных члена об­ра­зу­ют либо ариф­ме­ти­че­скую, либо гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию. Пер­вый член по­сле­до­ва­тель­но­сти равен 1, а по­след­ний 2046.

а)  Может ли в по­сле­до­ва­тель­но­сти быть три члена?

б)  Может ли в по­сле­до­ва­тель­но­сти быть че­ты­ре члена?

в)  Может ли в по­сле­до­ва­тель­но­сти быть мень­ше 2046 чле­нов?