Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C2 № 521418

На диагонали АВ1 грани АВВ1А1 треугольной призмы взята точка М так, что АМ : МВ1 = 5 : 4.

а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точку М параллельно диагоналям А1С и ВС1 двух других граней.

б) Найдите, в каком отношении плоскость сечения делит ребро СС1.

Спрятать решение

Решение.

а) Достроим данную призму до четырехугольной: ACBDA_1C_1B_1D_1, где ACBD параллелограмм. Пусть α — плоскость сечения. Прямая D_1B параллельна прямой A_1C, поэтому α параллельна плоскости D_1BC_1. Пусть T — середина A_1B_1, тогда плоскости D_1BC_1 и ABB_1 пересекаются по прямой BT. Тогда α и ABB_1 пересекаются по прямой KN.  левая круглая скобка K принадлежит A_1B_1, N принадлежит AB правая круглая скобка . Прямая KN параллельна прямой BT, причем M принадлежит KN. Далее, плоскости D_1BC_1 и A_1B_1C_1 пересекаются по прямой D_1C_1, значит, α пересекает A_1B_1C_1 по прямой KE, параллельной прямой D_1C_1,  левая круглая скобка E принадлежит A_1C_1 правая круглая скобка . Плоскость α пересекается с A_1AC по прямой EF, параллельной прямой A_1C,  левая круглая скобка F принадлежит CC_1 правая круглая скобка . Далее, плоскость α пересекается с ABC по прямой NR, параллельной прямой KE,  левая круглая скобка R принадлежит BC правая круглая скобка . Плоскость α пересекается с BB_1C по прямой RF. Пятиугольник NKEFR — искомое сечение.

б) Заметим, что по теореме о пропорциональных отрезках:

 дробь: числитель: C_1F, знаменатель: FC конец дроби = дробь: числитель: C_1E, знаменатель: EA_1 конец дроби = дробь: числитель: TK, знаменатель: KA_1 конец дроби .

Далее, из подобия треугольников KMB_1 и NMA получим, что  дробь: числитель: KB_1, знаменатель: AN конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби ; поэтому:

 дробь: числитель: KB_1, знаменатель: AN конец дроби = дробь: числитель: B_1T плюс TK, знаменатель: AB минус BN конец дроби = дробь: числитель: A_1T плюс KT, знаменатель: 2A_1T минус TK конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби .

Из последнего равенства следует что  дробь: числитель: TK, знаменатель: A_1T конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , значит:

 дробь: числитель: TK, знаменатель: KA_1 конец дроби = дробь: числитель: C_1F, знаменатель: FC конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

 

Ответ: 1 : 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 208.