Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Через се­ре­ди­ну ребра AA₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой ВD₁ про­ве­де­на плос­кость α. 

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ни­ем куба плос­ко­стью α яв­ля­ет­ся пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми α и ABC.    

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC впи­са­на окруж­ность ω, ка­са­ю­ща­я­ся ги­по­те­ну­зы AB в точке M. Точка О  — центр опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­но­сти. Ка­са­тель­ная к окруж­но­сти ω, про­ве­ден­ная из точки О, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну АС в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна про­из­ве­де­нию длин от­рез­ков AM и BM.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка BCPO, если из­вест­но, что AM  =  12, BM  =  5.

1 марта 2012 года близ­не­цы Саша и Паша ре­ши­ли от­крыть в банке вклад на 3 года. У каж­до­го из них име­лась сумма 700 000 руб­лей. Саша вло­жил свои день­ги под 10% го­до­вых. Паша пе­ре­вел все свои день­ги в дол­ла­ры, отдав 35  руб­лей за каж­дый дол­лар, и от­крыл ва­лют­ный вклад под 1% го­до­вых. Через три года Саша и Паша за­кры­ли свои счета. Паша тут же решил всю сня­тую сумму снова пе­ре­ве­сти в рубли. Из­вест­но, что 1 марта 2015 года банк давал за 1 дол­лар 50 руб­лей. У кого из бра­тьев в итоге на руках ока­за­лась боль­шая сумма? На сколь­ко руб­лей?

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно один ко­рень.

а)  Какое наи­боль­шее число ладей можно по­ста­вить на шах­мат­ной доске так, чтобы ни­ка­кие две не били друг друга?                          

б)  На шах­мат­ной доске по­став­ле­ны во­семь ладей. Какое наи­боль­шее число кле­ток может ока­зать­ся не под боем этих ладей?                                                   

в)  На 64 лет­ках шах­мат­ной доски вы­пи­са­ны под­ряд числа от 1 до 64 (в верх­нем ряду слева на­пра­во числа от 1 до 8, во вто­ром ряду числа от 9 до 16 и т. д.) Во­семь ладей по­став­ле­ны так, что ни­ка­кие две не бьют друг друга. Под­счи­та­на сумма чисел, на­пи­сан­ных на тех вось­ми клет­ках, на ко­то­рых по­став­ле­ны ладьи. Най­ди­те все зна­че­ния, ко­то­рые может при­ни­мать эта сумма.