ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д10 C2 № 514575 Добавить в вариант

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ точка P  — середина ребра A₁B₁, точка M  — середина ребра A₁C₁.

а)  Докажите, что сечение призмы плоскостью BPM проходит через точку C.

б)  Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость BPM разбивает данную призму, если известно, что AB  =  6, AA₁  =  4.

Спрятать решение

Решение.

а)  Поскольку PM  — средняя линия треугольника $B_1A_1C_1,$ то $PM\parallel B_1C_1\parallel BC,$ поэтому точки P, M, B, C лежат в одной плоскости.

б)  Продлим CM и BP до пересечения с прямой $AA_1$ в точке E (очевидно, точка у обеих прямых одна и та же, причем $EA_1=A_1A,$ поскольку $A_1M= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AC и A_1M\parallel AC,$ то $A_1M$   — средняя линия EAC и $EA_1=A_1A$ баллы аналогично со второй прямой)

Тогда

$V_ABCA_1PM=V_EABC минус V_EA_1PM= дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби V_EABC= дробь: числитель: 7, знаменатель: 24 конец дроби умножить на EA умножить на S_ABC= дробь: числитель: 7, знаменатель: 12 конец дроби умножить на AA_1 умножить на S_ABC= дробь: числитель: 7, знаменатель: 12 конец дроби V_A_1B_1C_1ABC,$ $V_ABCA_1PM=V_EABC минус V_EA_1PM= дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби V_EABC=$
$= дробь: числитель: 7, знаменатель: 24 конец дроби умножить на EA умножить на S_ABC= дробь: числитель: 7, знаменатель: 12 конец дроби умножить на AA_1 умножить на S_ABC= дробь: числитель: 7, знаменатель: 12 конец дроби V_A_1B_1C_1ABC,$

поэтому отношение объемов равно $7: левая круглая скобка 12 минус 7 правая круглая скобка =7:5.$ Числовые данные в этой задаче не нужны.

Ответ: $7:5.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 157

Классификатор стереометрии: Правильная треугольная призма, Сечение, проходящее через три точки

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь