В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной 
Ребро SA перпендикулярно плоскости основания и равно 8. Через вершину А параллельно BD проведено сечение, которое делит ребро SC в отношении 3 : 2, считая от вершины S.
а) Докажите, что плоскость сечения делит отрезок SO в отношении 3 : 1, где О — центр основания.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания пирамиды.
а) Назовем точки пересечения плоскости сечения с боковыми ребрами пирамиды: M с SB, K с SC, N с SD. Отрезок MN пересекает SBD и, следовательно, прямая MN параллельна BD. Прямая SO пересекает плоскость SBD, поэтому точка, в которой SO пересекает плоскость сечения, это точка в которой прямая SO пересекает прямую MN. Назовем эту точку L.
Рассмотрим плоскость SAC, заметим, что 
Проведем из точки K отрезок KP параллельный прямой AC. Имеем: 
прямые KP и SO пересекаются в точке R. Тогда из подобия треугольников SPK и SAC находим: 
то есть треугольники KRL и AOL подобны с коэффициентом подобия 
Следовательно, 
Это доказывает, что SL : LO = 3 : 1.
б) Так как плоскости ABCD и AMKN пересечены плоскостью SBD по двум параллельным прямым BD и MN, эти прямые параллельны ребру двугранного угла, образованного этими плоскостями. Прямая AC перпендикулярна прямой BD, прямая AK перпендикулярна прямой MN по теореме о трех перпендикулярах. Следовательно, искомый угол равен углу CAK. Пусть K' — проекция точки K на прямую AC, тогда 
Таким образом, 
Ответ: б) 