ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д10 C2 № 505677 Добавить в вариант

Объем пирамиды ABCD равен 5. Через середины ребер AD и BC проведена плоскость, пересекающая ребро CD в точке M. При этом DM : MC = 2 : 3. Найти площадь сечения, если расстояние от плоскости сечения до вершины A равно 1.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим точки пересечения плоскости с ребрами $AB,BC,CD,DA$ за $N,F,M,E$ соответственно. Продолжим прямую FM до пересечения с прямой BD в точке $T.$

По теореме Менелая для треугольника BCD и прямой FMT имеем $дробь: числитель: BF, знаменатель: FC конец дроби умножить на дробь: числитель: CM, знаменатель: MD конец дроби умножить на дробь: числитель: DT, знаменатель: TB конец дроби =1,$ откуда $DT:BD=2:3.$

По теореме Менелая для треугольника BAD и прямой NET имеем $дробь: числитель: BN, знаменатель: NA конец дроби умножить на дробь: числитель: AE, знаменатель: ED конец дроби умножить на дробь: числитель: DT, знаменатель: TB конец дроби =1,$ откуда $BN:NA=3:2.$

Теперь вычислим объем пирамиды, разбивая ее на части. Отметим, что $d левая круглая скобка A,FNE правая круглая скобка =d левая круглая скобка B,FNE правая круглая скобка ,$ поскольку середина AB лежит в плоскости FNE:

$5=V_ABCD=V_BEMD плюс V_BFNEM плюс V_AFMC плюс V_AFNEM=$

$= дробь: числитель: S_MED, знаменатель: S_ACD конец дроби V_ABCD плюс дробь: числитель: S_FCM, знаменатель: S_ACD конец дроби V_ABCD плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка B,FNE правая круглая скобка умножить на S_FNEM плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка A,FNE правая круглая скобка умножить на S_FNEM=$

$=5 дробь: числитель: ED умножить на DM, знаменатель: AD умножить на DC конец дроби плюс 5 дробь: числитель: CF умножить на CM, знаменатель: CB умножить на CD конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби S_FNEM=$

$=5 умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс 5 умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби S_FNEM=3 плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби S_FNEM.$

Отсюда $дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби S_FNEM=2$ и $S_FNEM=3.$

Ответ: 3.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 54

Методы геометрии: Теорема Менелая

Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Площадь сечения, Сечение, проходящее через три точки

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь