а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит квад­рат ABCD со сто­ро­ной, рав­ной 3. Бо­ко­вое ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да равно 4. На ребре AA₁ от­ме­че­на точка M так, что AM : A₁M = 1 : 3.

а)  По­строй­те се­че­ние па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью BMD₁.

б)  Най­ди­те пло­щадь по­лу­чен­но­го се­че­ния.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В тре­уголь­ни­ке ABC точка O  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти, точка R лежит на от­рез­ке BC и BR = RC. Опи­сан­ная около тре­уголь­ни­ка BRO окруж­ность пе­ре­се­ка­ет AB в точке T.

а)  До­ка­жи­те, что TR || AC.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если из­вест­но, что угол BOR равен 30°, RT = 8, BT  =  6.

Транcна­ци­о­наль­ная ком­па­ния Amako Inc. ре­ши­ла про­ве­сти не­дру­же­ствен­ное по­гло­ще­ние ком­па­нии First Aluminum Company (FAC) путем скуп­ки акций ми­но­ри­тар­ных ак­ци­о­не­ров. Из­вест­но, что Amako было сде­ла­но три пред­ло­же­ния вла­дель­цам акций FAC, при этом цена по­куп­ки одной акции каж­дый раз по­вы­ша­лась на 1/⁠3. В ре­зуль­та­те вто­ро­го пред­ло­же­ния Amako су­ме­ла уве­ли­чить число вы­куп­лен­ных акций на 20% (после вто­рой скуп­ки общее число вы­куп­лен­ных акций уве­ли­чи­лось на 20%), а в ре­зуль­та­те скуп­ки по тре­тьей цене  — еще на 20%. Най­ди­те цену за одну акцию при тре­тьем пред­ло­же­нии и общее ко­ли­че­ство скуп­лен­ных акций, если на­чаль­ное пред­ло­же­ние со­став­ля­ло $27 за одну акцию, а по вто­рой цене Amako ску­пи­ла 15 тысяч акций.

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет ровно три раз­лич­ных корня.

На листе бу­ма­ги в строч­ку за­пи­са­ны 11 еди­ниц.

а)  До­ка­жи­те, что между этими еди­ни­ца­ми можно рас­ста­вить знаки сло­же­ния, умно­же­ния и скоб­ки так, что после вы­пол­не­ния дей­ствий по­лу­чит­ся число, де­ля­ще­е­ся на 54.

б)  До­ка­жи­те, что если еди­ни­цы, сто­я­щие на чет­ных ме­стах, за­ме­нить на се­мер­ки, все равно между чис­ла­ми по­лу­чен­но­го на­бо­ра можно рас­ста­вить знаки сло­же­ния, умно­же­ния и скоб­ки так, что после вы­пол­не­ния дей­ствий по­лу­чит­ся число, де­ля­ще­е­ся на 54.

в)  До­ка­жи­те, что между лю­бы­ми 11 на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми можно рас­ста­вить знаки сло­же­ния, умно­же­ния и скоб­ки так, что после вы­пол­не­ния дей­ствий по­лу­чит­ся число, де­ля­ще­е­ся на 54.