а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие ин­тер­ва­лу

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ на бо­ко­вом ребре BB₁ взята точка M так, что BM : MB₁  =  2 : 5. Плос­кость α про­хо­дит через точки M и D и па­рал­лель­на пря­мой A₁C₁. Плос­кость α пе­ре­се­ка­ет ребро CC₁ в точке Q.

а)  До­ка­жи­те, что ребро CC₁ де­лит­ся точ­кой Q в от­но­ше­нии 1 : 6.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью α, если CD  =  12, AA  =  14.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны вы­со­ты AD и CE, пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точке P. Из­вест­но, что АС  =  26, DE  =  10.

а)  Най­ди­те от­но­ше­ние ра­ди­у­сов окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки DEP и ACP.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между се­ре­ди­на­ми от­рез­ков АС и DE.

Алек­сан­дре и Все­во­ло­ду 1 сен­тяб­ря не­имо­вер­но по­вез­ло от­крыть в банке по вкла­ду на оди­на­ко­вые суммы и на один и тот же срок мень­ше года. У Алек­сан­дры пер­вые не­сколь­ко ме­ся­цев про­цент­ная став­ка со­ста­ви­ла 81,44% в месяц, а на остав­ший­ся срок  — 5% в месяц. У Все­во­ло­да на про­тя­же­нии всего срока став­ка со­ста­ви­ла 26% в месяц. Суммы на­коп­лен­ных про­цен­тов в конце каж­до­го ме­ся­ца до­бав­ля­лись к остат­ку на счете, при этом кли­ент мог снять день­ги толь­ко в конце срока. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство ме­ся­цев у Алек­сан­дры могла дей­ство­вать став­ка 81,44%, если к мо­мен­ту за­кры­тия вкла­дов суммы на сче­тах обоих ге­ро­ев ока­за­лись оди­на­ко­вы­ми?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Сева экс­пе­ри­мен­ти­ру­ет с таб­ли­цей 3 на 3 клет­ки. Его за­да­ча  — раз­ме­стить в ней мо­не­ты таким об­ра­зом, чтобы во всех стро­ках и столб­цах таб­ли­цы ко­ли­че­ство монет было раз­лич­ным. Не­ко­то­рые клет­ки могут остать­ся пу­сты­ми.

а)  Есть ли шанс у Севы рас­по­ло­жить в таб­ли­це 18 монет ука­зан­ным спо­со­бом?

б)  А 6 монет ука­зан­ным спо­со­бом?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство монет по­тре­бу­ет­ся Севе для вы­пол­не­ния по­став­лен­ной за­да­чи?