Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C2 № 527502

В основании пирамиды с вершиной S лежит прямоугольник, центр которого находится на высоте пирамиды. Плоскость пересекает боковые ребра пирамиды в точках P, Q, M и N так, что P и M — противоположные вершины четырехугольника PQMN. Известно, что SP=7, SM= дробь: числитель: 7, знаменатель: 6 конец дроби , SQ плюс SN= дробь: числитель: 25, знаменатель: 6 конец дроби , SQ больше SN.

а) Найдите SQ и SN.

б) Найдите, в каком отношении плоскость делит высоту пирамиды, если дополнительно известно, что боковое ребро пирамиды равно 10.

Спрятать решение

Решение.

Сначала докажем лемму. Пусть в треугольнике ASC (AS=SC) на сторонах SA и SC взяты точки P и M соответственно так, что SP=a, SM=b. Пусть PM пересекает высоту из вершины S в точке O. Тогда

SO= дробь: числитель: корень из 2ab, знаменатель: a плюс b конец дроби корень из 1 плюс косинус \angle ASC.

Доказательство. В треугольнике MSN отрезок SO — биссектриса. Вычисляя по теореме косинусов сторону MP, получим

MP= корень из a в квадрате плюс b в квадрате минус 2ab косинус \angle ASC.

По свойству биссектрисы

OP= дробь: числитель: a, знаменатель: a плюс b конец дроби MP, OM= дробь: числитель: b, знаменатель: a плюс b конец дроби MP.

Тогда

SO= корень из SM умножить на SP минус OM умножить на OP=

= корень из ab минус дробь: числитель: ab левая круглая скобка a в квадрате плюс b в квадрате минус 2ab косинус \angle ASC правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в квадрате конец дроби =

= корень из дробь: числитель: ab левая круглая скобка левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в квадрате минус a в квадрате минус b в квадрате плюс 2ab косинус \angle ASC, знаменатель: левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в квадрате конец дроби =

= корень из дробь: числитель: ab левая круглая скобка 2ab плюс 2ab косинус \angle ASC, знаменатель: левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: корень из 2ab, знаменатель: a плюс b конец дроби корень из 1 плюс косинус \angle ASC.

а) Пусть вершины прямоугольника это A, B, C, D. Применяя лемму к треугольнику ASC и обозначая угол при вершине через  альфа , получим

SO= дробь: числитель: корень из 2 умножить на 7 умножить на дробь: числитель: 7, знаменатель: 6 конец дроби , знаменатель: 7 плюс дробь: числитель: 7, знаменатель: 6 конец дроби конец дроби корень из 1 плюс косинус альфа .

Применяя ту же лемму к треугольнику BSD (SQ=a, SN=b) получим

SO= дробь: числитель: корень из 2ab, знаменатель: дробь: числитель: 25, знаменатель: 6 конец дроби конец дроби корень из 1 плюс косинус альфа .

Отметим, что треугольники ASC и BSD равны, поэтому имеют они тот же угол при вершине, и точка O у них одна и та же — это точка пересечения плоскости сечения с высотой пирамиды. Приравняем эти выражения:

 дробь: числитель: корень из 2 умножить на 7 умножить на дробь: числитель: 7, знаменатель: 6 конец дроби , знаменатель: 7 плюс дробь: числитель: 7, знаменатель: 6 конец дроби конец дроби корень из 1 плюс косинус альфа = дробь: числитель: корень из 2ab, знаменатель: дробь: числитель: 25, знаменатель: 6 конец дроби конец дроби корень из 1 плюс косинус альфа равносильно дробь: числитель: дробь: числитель: 49, знаменатель: 6 конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: 49, знаменатель: 6 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: ab, знаменатель: дробь: числитель: 25, знаменатель: 6 конец дроби конец дроби равносильно ab= дробь: числитель: 25, знаменатель: 6 конец дроби .

Кроме того, a плюс b= дробь: числитель: 25, знаменатель: 6 конец дроби Значит, числа a и b являются корнями уравнения t в квадрате минус дробь: числитель: 25, знаменатель: 6 конец дроби t плюс дробь: числитель: 25, знаменатель: 6 конец дроби =0, откуда a= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби , b= дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби (не наоборот, поскольку a больше b).

б) Применяя ту же лемму к треугольнику ASC для M=C, P=A, находим длину высоты пирамиды:

 дробь: числитель: 100 корень из 2, знаменатель: 20 конец дроби корень из 1 плюс косинус альфа =5 корень из 2 корень из 1 плюс косинус альфа .

Значит, отношение SO ко всей высоте пирамиды равно:

 дробь: числитель: корень из 2 умножить на 7 умножить на дробь: числитель: 7, знаменатель: 6 конец дроби , знаменатель: 7 плюс дробь: числитель: 7, знаменатель: 6 конец дроби конец дроби корень из 1 плюс косинус альфа :5 корень из 2 корень из 1 плюс косинус альфа =1:5.

Значит, ответ 1:4.

 

Ответ: а) SQ= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби , SN= дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ; б) 1:4.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 265.
Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Четырехугольная пирамида