Сна­ча­ла до­ка­жем лемму. Пусть в тре­уголь­ни­ке ASC () на сто­ро­нах SA и SC взяты точки P и M со­от­вет­ствен­но так, что Пусть PM пе­ре­се­ка­ет вы­со­ту из вер­ши­ны S в точке O. Тогда

До­ка­за­тель­ство. В тре­уголь­ни­ке MSN от­ре­зок SO  — бис­сек­три­са. Вы­чис­ляя по тео­ре­ме ко­си­ну­сов сто­ро­ну MP, по­лу­чим

По свой­ству бис­сек­три­сы

Тогда

а)  Пусть вер­ши­ны пря­мо­уголь­ни­ка это A, B, C, D. При­ме­няя лемму к тре­уголь­ни­ку ASC и обо­зна­чая угол при вер­ши­не через по­лу­чим

При­ме­няя ту же лемму к тре­уголь­ни­ку BSD ( ) по­лу­чим

От­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки ASC и BSD равны, по­это­му имеют они тот же угол при вер­ши­не, и точка O у них одна и та же  — это точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти се­че­ния с вы­со­той пи­ра­ми­ды. При­рав­ня­ем эти вы­ра­же­ния:

Кроме того, Зна­чит, числа a и b яв­ля­ют­ся кор­ня­ми урав­не­ния от­ку­да (не на­о­бо­рот, по­сколь­ку ).

б)  При­ме­няя ту же лемму к тре­уголь­ни­ку ASC для на­хо­дим длину вы­со­ты пи­ра­ми­ды:

Зна­чит, от­но­ше­ние SO ко всей вы­со­те пи­ра­ми­ды равно:

Зна­чит, ответ

Ответ: а) б)