Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C2 № 530700

В основании четырехугольной пирамиды SKLMN лежит равнобедренная трапеция KLMN, описанная около окружности и такая, что KN = LM = 4, MN > KL и угол между прямыми KN и LM равен 60°. Две противоположные грани этой пирамиды перпендикулярны основанию и SM = 12.

а) Найдите объем пирамиды SKLMN.

б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SKL.

Спрятать решение

Решение.

а) Заметим, что если грани пирамиды, проходящие через основания пирамиды, перпендикулярны основанию, то они параллельны. Значит, перпендикулярны основанию грани, проходящие через боковые стороны трапеции KN и LM. Пусть прямые KN и LM пересекаются в точке P, следовательно, P — точка пересечения плоскостей SLM и SNK, SP= левая круглая скобка SLM правая круглая скобка \cap левая круглая скобка SNK правая круглая скобка . Заметим, что так как плоскость SLM перпендикулярна плоскости KLMN и плоскость SNK перпендикулярна плоскости KLMN, то прямая SP перпендикуляра плоскости KLMN, то есть SP — высота пирамиды.

Так как трапеция равнобедренная, то углы PMN и PNM равны, и треугольник PNM равнобедренный с углом при вершине 60°, а значит треугольник PMN — равносторонний. Окружность, вписанная в трапецию KLMN, является также окружностью, вписанной в треугольник PMN. Её радиус

R=OH_2=OH_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби PH_2,

 

следовательно,  дробь: числитель: PH_1, знаменатель: PH_2 конец дроби = дробь: числитель: PL, знаменатель: PM конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , откуда PL=KL=PK=2, а PM=MN=PN=6. Тогда

S_KLMN=S_PNM минус S_PKL=9 корень из 3 минус корень из 3=8 корень из 3,

SP= корень из SM в квадрате минус PM в квадрате =6 корень из 3,

V_SKLMN= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_KLMN умножить на SP= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 8 корень из 3 умножить на 6 корень из 3=48.

б) Прямая MN параллельна плоскости SKL, поэтому d левая круглая скобка M,SKL правая круглая скобка =d левая круглая скобка H_2,SKL правая круглая скобка , где H2 — середина MN. Рассмотрим плоскость SPH2. Прямая SP перпендикулярна прямой KL, прямая PH1 перпендикулярна прямой KL, следовательно, прямая KL перпендикулярна плоскости SPH2. Опустим из H2 перпендикуляр на прямую SH1, H_2O\subset SPH_2, значит, прямая H2O перпендикулярна прямым KL и SH1, следовательно, прямая H2O перпендикулярна плоскости SKL и H2O является искомым расстоянием.

 

Треугольники H2OH1 и SPH1 подобны, следовательно,

 дробь: числитель: H_2O, знаменатель: H_2H_1 конец дроби = дробь: числитель: SP, знаменатель: SH_1 конец дроби равносильно H_2O= дробь: числитель: SP умножить на H_2H_1, знаменатель: SH_1 конец дроби .

Из п. а) следует:

SP=6 корень из 3,    PH_1= корень из 3,    H_2H_1=2 корень из 3,

SH_1= корень из левая круглая скобка 6 корень из 3 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка корень из 3 правая круглая скобка в квадрате = корень из 3 левая круглая скобка 36 плюс 1 правая круглая скобка = корень из 111.

Тогда

H_2O= дробь: числитель: 6 корень из 3 умножить на 2 корень из 3, знаменатель: корень из 111 конец дроби = дробь: числитель: 12 умножить на 3 умножить на корень из 111, знаменатель: 111 конец дроби = дробь: числитель: 12 корень из 111, знаменатель: 37 конец дроби .

Ответ: а) 48; б)  дробь: числитель: 12 корень из 111, знаменатель: 37 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 295.