В правильной четырехугольной пирамиде PABCD высота РО в полтора раза больше, чем сторона основания.
а) Докажите, что через точку О можно провести такой отрезок KM с концами на сторонах AD и BC соответственно, что сечение PKM пирамиды будет равновелико основанию пирамиды.
б) Найдите отношение площади полной поверхности пирамиды PABMK к площади полной поверхности пирамиды PABCD.
а) Пусть сторона основания пирамиды, равна a. Тогда
В основании пирамиды лежит квадрат. Выберем произвольную точку К отрезка AD. Поскольку точка пересечения диагоналей параллелограмма является центром его симметрии, на стороне BC этого же квадрата найдется точка M, симметричная точке K относительно O. В зависимости от расположения точки M на отрезке AD длина отрезка KM будет меняться. Очевидно, наименьшее значение KM будет а, когда OK совпадет с высотой ΔAOD, наибольшее значение — 
в случае, когда точка K совпадает либо с А, либо с D. Точка K при этом совпадет либо с C, либо с B — соответственно. То есть 
Пусть KM = x. Предположим, что S(PKM) = S(ABCD). Найдем x при выполнении этого равенства и докажем, что найденное значение x удовлетворяет неравенству 
Теперь докажем неравенство 
б) Пусть Е — середина AD. Соединим отрезками точку E с точками P и О.
Докажем, что KM независимо от выбора расположения точки K разбивает квадрат ABCD на две равновеликие фигуры. Действительно, при симметрии относительно O точка M перейдет в точку K, точка C — в точку A, точка B в точку D и наоборот. Следовательно, при той же симметрии четырехугольники ABMK и CDKM перейдут друг на друга, откуда 
Далее,
Очевидно, что 
Ответ: 