Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д10 C2 № 687076
i

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с ос­но­ва­ни­ем АВС точка М  — се­ре­ди­на бо­ко­во­го ребра SC, на реб­рах AS и BS от­ме­че­ны точки K и L со­от­вет­ствен­но так, что AK : KS  =  SL : LB  =  3 : 1. Сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 6, а вы­со­та пи­ра­ми­ды равна дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

а)  До­ка­жи­те, что угол между плос­ко­стью АВС и плос­ко­стью KML равен 30°.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки S до плос­ко­сти KML.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть от­ре­зок SO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Ос­но­ва­ние  О вы­со­ты пра­виль­ной пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся цен­тром рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка ABC. Про­ве­дем от­ре­зок CH  — вы­со­ту ос­но­ва­ния. Тогда:

CH = 3 ко­рень из 3 ,

OH = ко­рень из 3 ,

OC = 2 ко­рень из 3 .

Вве­дем си­сте­му ко­ор­ди­нат с цен­тром в точке О, как по­ка­за­но ри­сун­ке. В этой си­сте­ме ко­ор­ди­нат на­хо­дим:

A левая круг­лая скоб­ка ко­рень из 3 }; минус 3; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

B левая круг­лая скоб­ка ко­рень из 3 }; 3; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

C левая круг­лая скоб­ка минус 2 ко­рень из 3 }; 3; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

S левая круг­лая скоб­ка 0; 0; дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Если точка R делит от­ре­зок PQ в от­но­ше­нии m : n, счи­тая от точки А, то ко­ор­ди­на­ты точки R суть

x_R= дробь: чис­ли­тель: nx_P плюс mx_Q, зна­ме­на­тель: m плюс n конец дроби ,

y_R= дробь: чис­ли­тель: ny_P плюс my_Q, зна­ме­на­тель: m плюс n конец дроби ,

z_R= дробь: чис­ли­тель: nz_P плюс mz_Q, зна­ме­на­тель: m плюс n конец дроби .

На­хо­дим ко­ор­ди­на­ты точек K, L и M:

K левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 33, зна­ме­на­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ,

L левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ,

M левая круг­лая скоб­ка минус ко­рень из 3 ; 0; дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

За­да­дим плос­кость KLM опре­де­ли­те­лем:

\left|\beginmatrixx плюс ко­рень из 3 yz минус дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби дробь: чис­ли­тель: 7 ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби \endmatrix| = 0.

Вы­чис­ляя опре­де­ли­тель, опус­кая про­ме­жу­точ­ные вы­чис­ле­ния, на­хо­дим урав­не­ние плос­ко­сти KLM:

2 x минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та y минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 39 конец ар­гу­мен­та z плюс 13 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та =0.

Век­то­ром, пер­пен­ди­ку­ляр­ным плос­ко­сти KLM, яв­ля­ет­ся \vecn = левая круг­лая скоб­ка 1; минус 2 ко­рень из 3 ; минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 39 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка . Век­то­ром, пер­пен­ди­ку­ляр­ным плос­ко­сти ABC, яв­ля­ет­ся \vecm = левая круг­лая скоб­ка 0; 0; 1 пра­вая круг­лая скоб­ка . Най­дем ко­си­нус угла φ между плос­ко­стя­ми ABC и KLM:

ко­си­нус фи = дробь: чис­ли­тель: | \vecn умно­жить на \vecm|, зна­ме­на­тель: |\vecn| умно­жить на |\vecm| конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 39 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 12 плюс 39 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

от­ку­да угол между плос­ко­стя­ми ABC и KLM равен 30°.

б)  Рас­сто­я­ние d от точки S левая круг­лая скоб­ка 0; 0; дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка до плос­ко­сти 2 x минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та y минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 39 конец ар­гу­мен­та z плюс 13 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та =0 равно

d левая круг­лая скоб­ка S, KML пра­вая круг­лая скоб­ка = \abs дробь: чис­ли­тель: 2 умно­жить на 0 плюс левая круг­лая скоб­ка минус 4 ко­рень из 3 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 0 плюс левая круг­лая скоб­ка минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 39 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби плюс 13 ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 плюс 48 плюс 156 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 39 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 52 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: чис­ли­тель: 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 39 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 52 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 687076: 689693 Все

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 508
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026