а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Точки M, N и P лежат на бо­ко­вых реб­рах пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы и делят их в от­но­ше­нии

а)  В каком от­но­ше­нии делит объем приз­мы плос­кость, про­хо­дя­щая через точки M, N и P?

б)  До­ка­жи­те, что MNP  — пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, если сто­ро­на ос­но­ва­ния приз­мы равна а бо­ко­вое ребро равно 60.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Точка N делит диа­го­наль тра­пе­ции ABCD в от­но­ше­нии Длины ос­но­ва­ний BC и AD от­но­сят­ся как Через точку N и вер­ши­ну D про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая бо­ко­вую сто­ро­ну AB в точке M.

а)  Какую часть пло­ща­ди тра­пе­ции со­став­ля­ет пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка MBCN?

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка MN, если

В офис­ном зда­нии 8 эта­жей, на каж­дом из ко­то­рых, кроме пер­во­го, на­хо­дит­ся ка­би­нет на­чаль­ни­ка от­де­ла. Управ­ля­ю­щая жи­лищ­ная ком­па­ния объ­яви­ла что в день про­фи­лак­ти­че­ско­го ре­мон­та лифта он сде­ла­ет всего один подъ­ем сразу всех на­чаль­ни­ков на один, ука­зан­ный ими этаж. После подъ­ема на­чаль­ни­ки будут вы­нуж­де­ны идти в свои ка­би­не­ты по лест­ни­це. В ка­че­стве ком­пен­са­ции за при­чи­нен­ные не­удоб­ства за каж­дый не­об­хо­ди­мый подъ­ем на оче­ред­ной этаж по лест­ни­це каж­до­му на­чаль­ни­ку будет на­чис­ле­но 200 руб­лей. За каж­дый ана­ло­гич­ный спуск  — 100 руб­лей. Этаж не­об­хо­ди­мо вы­брать так, чтобы общая сумма ком­пен­са­ций была ми­ни­маль­ной. Ука­жи­те в руб­лях эту сумму.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра p, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет хотя бы один ко­рень.

На доске на­пи­са­ны числа 3 и 5. За один ход раз­ре­ше­но за­ме­нить на­пи­сан­ную на доске пару чисел a и b парой и (на­при­мер, из пары чисел 3 и 5 за один ход можно по­лу­чить либо числа 5 и 9, либо числа 9 и 9).

а)  Может ли по­лу­чить­ся так, что после не­сколь­ких ходов на доске будут на­пи­са­ны числа 73 и 75?

б)  Может ли по­лу­чить­ся так, что после не­сколь­ких ходов одно из на­пи­сан­ных на доске чисел будет равно 35?

в)  После 2017 ходов на доске по­лу­чи­ли пару чисел, не рав­ных друг другу. Какое наи­мень­шее зна­че­ние может иметь раз­ность между боль­шим и мень­шим из этих чисел?