Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 514066

Дан куб ABCDA1B1C1D1.  

а) Докажите, что каждая из плоскостей BDA1 и B1D1С перпендикулярна прямой AC1

б) Найдите объем части куба, заключенной между плоскостями BDA1 и B1D1C, если известно, что отрезок диагонали AC1, заключенный между этими плоскостями, имеет длину  корень из 3 .

Решение.

а) Заметим, что BD\perp AC_1, поскольку проекция AC_1 на грань ABCD (то есть AC) перпендикулярна BD. Аналогично A_1D\perp AC_1. Поэтому и A_1BD\perp AC_1 по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Аналогично B_1D_1C\perp AC_1.

б) Обозначим ребро куба за x. Тогда BD=x корень из { 2}=A_1B=A_1D, откуда

S_{A_1BD}= дробь, числитель — (x корень из { 2}) в степени 2 корень из { 3}, знаменатель — 4 = дробь, числитель — x в степени 2 корень из { 3}, знаменатель — 2 .

Тогда

V_{AA_1BD}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 d(A,A_1BD) умножить на S_{A_1BD}=d(A,A_1BD) умножить на дробь, числитель — x в степени 2 корень из { 3}, знаменатель — 6 .

C другой стороны, V_{AA_1BD}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 d(A_1,ABD) умножить на S_{ABD}= дробь, числитель — x в степени 3 , знаменатель — 6 .

Итак, d(A,A_1BD)= дробь, числитель — x, знаменатель — корень из { 3 }. Ясно, что и d(C_1,B_1D_1C)= дробь, числитель — x, знаменатель — корень из { 3 }. При этом AC_1=x корень из { 3}, поэтому отрезок диагонали, заключенный между плоскостями, равен x корень из { 3} минус дробь, числитель — x, знаменатель — корень из { 3 } минус дробь, числитель — x, знаменатель — корень из { 3 }= дробь, числитель — x, знаменатель — корень из { 3 }= корень из { 3}, откуда x=3.

Тогда объемы пирамид AA_1BD и CC_1B_1D_1 равны  дробь, числитель — x в степени 3 , знаменатель — 6 = дробь, числитель — 9, знаменатель — 2 , откуда объем части куба между плоскостями равен 3 в степени 3 минус 2 умножить на дробь, числитель — 9, знаменатель — 2 =18.

 

Ответ: 18.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 154.
Методы геометрии: Метод объемов
Классификатор стереометрии: Куб, Объем тела, Перпендикулярность прямой и плоскости