Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д10 C2 № 514066
i

Дан куб ABCDA1B1C1D1.  

а)  До­ка­жи­те, что каж­дая из плос­ко­стей BDA1 и B1D1С пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AC1. 

б)  Най­ди­те объем части куба, за­клю­чен­ной между плос­ко­стя­ми BDA1 и B1D1C, если из­вест­но, что от­ре­зок диа­го­на­ли AC1, за­клю­чен­ный между этими плос­ко­стя­ми, имеет длину ко­рень из 3 .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­ме­тим, что BD\perp AC_1, по­сколь­ку про­ек­ция AC_1 на грань ABCD (то есть AC) пер­пен­ди­ку­ляр­на BD. Ана­ло­гич­но A_1D\perp AC_1. По­это­му и A_1BD\perp AC_1 по при­зна­ку пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти пря­мой и плос­ко­сти.

Ана­ло­гич­но B_1D_1C\perp AC_1.

б)  Обо­зна­чим ребро куба за x. Тогда BD=x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та =A_1B=A_1D, от­ку­да

S_A_1BD= дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Тогда

V_AA_1BD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби d левая круг­лая скоб­ка A,A_1BD пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на S_A_1BD=d левая круг­лая скоб­ка A,A_1BD пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

C дру­гой сто­ро­ны, V_AA_1BD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби d левая круг­лая скоб­ка A_1,ABD пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на S_ABD= дробь: чис­ли­тель: x в кубе , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Итак, d левая круг­лая скоб­ка A,A_1BD пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби . Ясно, что и d левая круг­лая скоб­ка C_1,B_1D_1C пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби . При этом AC_1=x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , по­это­му от­ре­зок диа­го­на­ли, за­клю­чен­ный между плос­ко­стя­ми, равен x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , от­ку­да x=3.

Тогда объ­е­мы пи­ра­мид AA_1BD и CC_1B_1D_1 равны дробь: чис­ли­тель: x в кубе , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , от­ку­да объем части куба между плос­ко­стя­ми равен 3 в кубе минус 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =18.

 

Ответ: 18.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 154
Методы геометрии: Метод объ­е­мов
Классификатор стереометрии: Куб, Объем тела, Пер­пен­ди­ку­ляр­ность пря­мой и плос­ко­сти
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025