а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В окруж­ность ниж­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра с вы­со­той 2 впи­сан пра­виль­ный тре­уголь­ник ABC со сто­ро­ной В окруж­ность верх­не­го ос­но­ва­ния впи­сан пра­виль­ный тре­уголь­ник A₁B₁C₁ так, что он по­вер­нут от­но­си­тель­но тре­уголь­ни­ка ABC на угол 60°.

а)  До­ка­жи­те, что че­ты­рех­уголь­ник ABB₁C₁  — пря­мо­уголь­ник.

б)  Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка ABCA₁B₁C₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Про­дол­же­ние вы­со­ты BH пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную во­круг тре­уголь­ни­ка ABC окруж­ность ω в точке D, при этом BD  =  BC. На луче BD за точку D от­ме­че­на точка E такая, что EA ка­са­ет­ся ω в точке A.

а)  До­ка­жи­те, что 3∠EBC + 2∠BEA  =  180°.

б)  Най­ди­те AE, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что а DC  =  10.

Алек­сандра взяла в банке кре­дит на 3 года, ко­то­рый ей пред­сто­ит по­га­сить тремя рав­ны­ми пла­те­жа­ми. В конце каж­до­го года банк на­чис­ля­ет 10% на остав­шу­ю­ся часть долга, после чего Алек­сандра в тот же день вно­сит оче­ред­ной пла­теж в банк. Как из­вест­но, часть та­ко­го пла­те­жа идет на по­га­ше­ние суммы на­чис­лен­ных про­цен­тов, а вто­рая часть идет на умень­ше­ние ос­нов­но­го долга. Ока­за­лось, что наи­мень­шая из трех сумм, на­прав­лен­ных на по­га­ше­ние ос­нов­но­го долга, со­ста­ви­ла 2 мил­ли­о­на руб­лей. Опре­де­ли­те наи­мень­шую из трех сумм, на­прав­лен­ных на по­га­ше­ние про­цен­тов за поль­зо­ва­ние кре­ди­том.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых гра­фик урав­не­ния

имеет ровно 3 общие точки со сто­ро­на­ми квад­ра­та ABCD, где А(4; 3) и С(−2; 5).

Даны n ≥ 3 на­ту­раль­ных чисел, об­ра­зу­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию.

а)  Может ли сумма всех дан­ных чисел быть рав­ной 10?

б)  Ка­ко­во наи­боль­шее зна­че­ние n, если сумма всех дан­ных чисел мень­ше 1000?

в)  Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния n, если сумма всех дан­ных чисел равна 129.