а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дана тре­уголь­ная пи­ра­ми­да ABCD с вер­ши­ной D. Из­вест­но, что угол DAB  — пря­мой, ребро AD пер­пен­ди­ку­ляр­но ме­ди­а­не ос­но­ва­ния AK и AD  =  AK. Се­че­ни­ем пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, не про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны ребер AD и ВС, яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция EFGH с ос­но­ва­ни­я­ми EF и GH, при­чем точка Е делит ребро BD по­по­лам, а точка G лежит на ребре АС и AG  =  3 · GC.

а)  До­ка­жи­те, что AB  =  AC.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тра­пе­ции EFGH к пло­ща­ди грани BCD.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Паром гру­зо­подъ­ем­но­стью 111 тонн пе­ре­во­зит мик­ро­ав­то­бу­сы и гру­зо­ви­ки при усло­вии пол­ной за­груз­ки. Ко­ли­че­ство за­гру­жен­ных на паром мик­ро­ав­то­бу­сов со­став­ля­ет не более 70% от ко­ли­че­ства за­гру­жен­ных на паром гру­зо­ви­ков. Вес и сто­и­мость од­но­го мик­ро­ав­то­бу­са со­став­ля­ют 5 тонн и 5 тысяч услов­ных еди­ниц, гру­зо­ви­ка  — 9 тонн и 4 ты­ся­чи услов­ных еди­ниц со­от­вет­ствен­но. Опре­де­ли­те наи­боль­шую воз­мож­ную сум­мар­ную сто­и­мость всех мик­ро­ав­то­бу­сов и гру­зо­ви­ков, пе­ре­во­зи­мых па­ро­мом при дан­ных усло­ви­ях.

Дана тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми BC и AD. Точки M и N яв­ля­ют­ся се­ре­ди­на­ми сто­рон AB и CD со­от­вет­ствен­но. Окруж­ность, про­хо­дя­щая через точки B и С, пе­ре­се­ка­ет от­рез­ки BM и CN в точ­ках P и Q (от­лич­ных от кон­цов от­рез­ков).

а)  До­ка­жи­те, что точки M, N, P и Q лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те QN, если от­рез­ки DP и PC пер­пен­ди­ку­ляр­ны, AB  =  21, BC  =  4, CD  =  20, AD  =  17.

Найти все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых не­ра­вен­ство

вы­пол­ня­ет­ся для всех x из от­рез­ка

За­ду­ма­но не­сколь­ко на­ту­раль­ных чисел (не обя­за­тель­но раз­лич­ных). Эти числа и все их воз­мож­ные про­из­ве­де­ния (по 2 числа, по 3 числа и т. д.) вы­пи­сы­ва­ют на доску. Если какое-⁠то число n, вы­пи­сан­ное на доску, по­вто­ря­ет­ся не­сколь­ко раз, то на доске остав­ля­ют одно такое число n, а осталь­ные числа, рав­ные n, сти­ра­ют. На­при­мер, если за­ду­ма­ны числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 9, 12, 36.

а)  При­ве­ди­те при­мер за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.

б)  Су­ще­ству­ет ли при­мер таких за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 105, 315, 945?

в)  При­ве­ди­те все при­ме­ры шести за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор, наи­боль­шее число в ко­то­ром равно 82.