Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды FABCD яв­ля­ет­ся квад­рат ABCD. На ребре AF взята точка Е такая, что от­ре­зок СЕ пер­пен­ди­ку­ля­рен ребру AF. Про­ек­ция О точки Е на ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды лежит на от­рез­ке АС и делит его в от­но­ше­нии AO : OC  =  4 : 1. Угол ADF равен 90°.

а)  До­ка­жи­те, что ребро FC пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те раз­ность объ­е­мов пи­ра­мид FABCD и EABD, если из­вест­но, что АВ  =  1.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В тре­уголь­ни­ке АВС точка D есть се­ре­ди­на АВ, точка Е лежит на сто­ро­не ВС, при­чем От­рез­ки АЕ и CD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О.

а)  До­ка­зать, что

б)  Найти длину сто­ро­ны АВ, если АЕ  =  5, ОС  =  4, а угол АОС равен 120°

В пче­ли­ной семье, зи­му­ю­щей в по­ме­ще­нии, в день по­след­ней ве­сен­ней под­корм­ки было 9 тысяч пчел. К концу k‐го дня ( k  =  1,2,3... ) после дня под­корм­ки чис­лен­ность пче­ли­ной семьи, зи­му­ю­щей в по­ме­ще­нии, ста­но­вит­ся рав­ной тысяч пчел. Далее, при пе­ре­воз­ке пчел на лет­нюю сто­ян­ку, чис­лен­ность пче­ли­ной семьи в каж­дый по­сле­ду­ю­щий день воз­рас­та­ет на 25% по срав­не­нию с преды­ду­щим днем. В конце ка­ко­го дня после ве­сен­ней под­корм­ки нужно пе­ре­вез­ти пчел на лет­нюю сто­ян­ку, чтобы через 38 дней после под­корм­ки чис­лен­ность пче­ли­ной семьи стала наи­боль­шей? Из­вест­но, что у фер­ме­ра нет воз­мож­но­сти по­ме­стить пчел на лет­нюю сто­ян­ку сразу же после под­корм­ки.

При каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра p си­сте­ма

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние?

На доске на­пи­са­но 30 на­ту­раль­ных чисел (не­обя­за­тель­но раз­лич­ных), каж­дое из ко­то­рых боль­ше 10, но не пре­вос­хо­дит 50. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское на­пи­сан­ных чисел рав­ня­лось 17. Вме­сто каж­до­го из чисел на доске на­пи­са­ли число, в два раза мень­шее пер­во­на­чаль­но­го. Числа, ко­то­рые ока­за­лись мень­ше 6, стер­ли.

а)  Могло ли ока­зать­ся так, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся на доске чисел боль­ше 17?

б)  Могло ли ока­зать­ся так, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся на доске чисел боль­ше 19, но мень­ше 20?

в)  Най­ди­те мак­си­маль­но воз­мож­ное зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го чисел, остав­ших­ся на доске.