Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Тре­уголь­ная приз­ма ABCA1B1C1 с ниж­ним ос­но­ва­ни­ем ABC и бо­ко­вы­ми реб­ра­ми AA1, BB1, CC1 рас­се­че­на плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки E, F, C, где точка E яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра AA1, точка F лежит на ребре BB1, при­чем BF : FB1  =  1 : 2. 

а)  До­ка­жи­те, что объем части приз­мы ABCA1B1C 1, за­клю­чен­ный между се­ку­щей плос­ко­стью и ниж­ним ос­но­ва­ни­ем этой приз­мы со­став­ля­ет дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 18 конец дроби  объ­е­ма приз­мы.

б)  Най­ди­те угол между ниж­ним ос­но­ва­ни­ем приз­мы и плос­ко­стью се­че­ния, если приз­ма ABCA1B1C1  — пра­виль­ная и все ее ребра равны между собой.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Имеем:

V_ECFBA= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби d левая круг­лая скоб­ка C,ABFE пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на S_AEFB= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби d левая круг­лая скоб­ка C,ABB_1 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: AE плюс BF, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на AB=

 

= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби d левая круг­лая скоб­ка C,AB пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на AB умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби AA_1= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 18 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби d левая круг­лая скоб­ка C,AB пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на AB умно­жить на AA_1=

 

= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 18 конец дроби умно­жить на S_ABC умно­жить на AA_1= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 18 конец дроби V_ABCA_1B_1C_1.

б)  Про­дол­жим EF до пе­ре­се­че­ния с AB в точке T. Тогда тре­уголь­ни­ки TEA и TFB по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том дробь: чис­ли­тель: EA, зна­ме­на­тель: FB конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , по­это­му BT=2AT.

Опу­стим те­перь пер­пен­ди­ку­ляр из A на пря­мую CT, обо­зна­чив его ос­но­ва­ние за H. Тогда EH\perp CT по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах. Зна­чит, \angle EHA  — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла между плос­ко­стя­ми ABC и ECF.

Пусть все ребра приз­мы равны 6x. Тогда EA=3x, AT=18x, BT=12x.

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов из тре­уголь­ни­ка CBT имеем

CT в квад­ра­те =36x в квад­ра­те плюс 144x в квад­ра­те минус 2 умно­жить на 6x умно­жить на 12x ко­си­нус 120 гра­ду­сов=252x в квад­ра­те ,от­ку­даCT=6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та x.

Вы­чис­лим те­перь вы­со­ту в тре­уголь­ни­ке CAT.

AH= дробь: чис­ли­тель: 2S_ACT, зна­ме­на­тель: CT конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3x умно­жить на 18x умно­жить на синус 60 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та x, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Зна­чит, в тре­уголь­ни­ке EAH имеем тан­генс \angle EHA= дробь: чис­ли­тель: EA, зна­ме­на­тель: AH конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

 

Ответ: арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 146
Классификатор стереометрии: Де­ле­ние от­рез­ка, По­стро­е­ния в про­стран­стве, Се­че­ние, про­хо­дя­щее через три точки, Тре­уголь­ная приз­ма, Угол между плос­ко­стя­ми
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025