Дан куб 
с ребром длины 1. Точка P — середина ребра 
точка Q делит отрезок 
в отношении 
считая от вершины А, R — точка пересечения отрезков 
и 
а) Найдите отношение, в котором плоскость сечения делит диагональ 
куба.
б) Найдите периметр сечения куба плоскостью PQR.
Введем координаты с началом в точке A и осями, направленными вдоль AB, AD и 
Тогда координаты точек будут 
и 
(это центр грани 
). Найдем уравнение плоскости PQR. Пусть это 
Подставляя координаты точек, получим систему уравнений.
Вычитая из второго уравнения третье, получим 
Возьмем 
тогда 
Из первого уравнения тогда 
и из второго 
Итак уравнение плоскости PQR имеет вид 
или 
В частности плоскость параллельна оси OX, поэтому сечение выглядит как прямоугольник, одна из сторон которого — ребро а вторая — параллельный этому ребру отрезок, проходящий через R.
а) Очевидно точка 
лежит в этой плоскости и на диагонали и делит эту диагональ в отношении 
б) Две стороны прямоугольника равны 1. Остальные две можно найти по теореме Пифагора из треугольника 
где T — середина 
Далее,
Значит, периметр сечения равен 
Ответ: а) 
б)