Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д10 C2 № 514582
i

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 на ребре DD1 от­ме­че­на точка O так, что DO=2 умно­жить на D_1O.

а)  До­ка­жи­те, что объём дан­ной приз­мы в 4,5 раза боль­ше, чем объём пи­ра­ми­ды OABB1A1.

б)  Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды OABB1A1, если из­вест­но, что AB  =  1, DD1=3.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Имеем:

V_OABB_1A_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби d левая круг­лая скоб­ка O,ABB_1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на S_ABB_1A_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби d левая круг­лая скоб­ка D_1,ABB_1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на S_ABB_1A_1=

= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби D_1B_1 умно­жить на AB умно­жить на BB_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та AB умно­жить на AB умно­жить на BB_1= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби AB в квад­ра­те умно­жить на BB_1=

= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби умно­жить на 6 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та AB в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби BB_1= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби умно­жить на S_ABCDEF4BB_1= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби V_A\ldots F_1

б)  S=S_OBB_1 плюс S_OAA_1 плюс S_OA_1B_1 плюс S_OAB,DO= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби DD_1=2,OD_1=1.

Най­дем рас­сто­я­ния от точки O до ребер, огра­ни­чи­ва­ю­щих грань ABB_1A_1. Пер­пен­ди­ку­ляр из O на AB и из D на AB па­да­ют в одну точку. Тогда

d левая круг­лая скоб­ка O,AB пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: OD в квад­ра­те плюс d левая круг­лая скоб­ка D,AB пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 плюс DB в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 плюс 3AB в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та .

Ана­ло­гич­но d левая круг­лая скоб­ка O, A_1B_1 пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 3 конец ар­гу­мен­та =2.

 

Далее,

d левая круг­лая скоб­ка O,BB_1 пра­вая круг­лая скоб­ка =d левая круг­лая скоб­ка D,BB_1 пра­вая круг­лая скоб­ка =DB= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та и d левая круг­лая скоб­ка O,AA_1 пра­вая круг­лая скоб­ка =d левая круг­лая скоб­ка D,AA_1 пра­вая круг­лая скоб­ка =AD=2.

По­это­му

S= дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 3 умно­жить на 2, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1 умно­жить на 2, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8 плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 8 плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 158
Классификатор стереометрии: Пра­виль­ная ше­сти­уголь­ная приз­ма
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025