Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды DABC  — пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом C. Вы­со­та пи­ра­ми­ды про­хо­дит через се­ре­ди­ну ребра AC, а бо­ко­вая грань ACD  — рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник.

а)   До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через ребро BC и про­из­воль­ную точку M ребра AD,  — пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны D до этой плос­ко­сти, если M  — се­ре­ди­на ребра AD, а вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 6.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна 30. Точка Р  — се­ре­ди­на бо­ко­вой сто­ро­ны АВ. Точка R на бо­ко­вой сто­ро­не CD вы­бра­на так, что 2CD  =  3RD. Пря­мые AR и PD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Q, AD  =  2BC.

а)  До­ка­жи­те, что точка Q  — се­ре­ди­на от­рез­ка AR

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка APQ.

В двух об­ла­стях есть по 20 ра­бо­чих, каж­дый из ко­то­рых готов тру­дить­ся по 10 часов в сутки на до­бы­че алю­ми­ния или ни­ке­ля. В пер­вой об­ла­сти один ра­бо­чий за час до­бы­ва­ет 0,2 кг алю­ми­ния или 0,2 кг ни­ке­ля. Во вто­рой об­ла­сти для до­бы­чи x кг алю­ми­ния в день тре­бу­ет­ся x² че­ло­ве­ко‐часов труда, а для до­бы­чи y кг ни­ке­ля в день тре­бу­ет­ся y² че­ло­ве­ко‐часов труда. Обе об­ла­сти по­став­ля­ют до­бы­тый ме­талл на завод, где для нужд про­мыш­лен­но­сти про­из­во­дит­ся сплав алю­ми­ния и ни­ке­ля, в ко­то­ром на 1 кг алю­ми­ния при­хо­дит­ся 1 кг ни­ке­ля. При этом об­ла­сти до­го­ва­ри­ва­ют­ся между собой вести до­бы­чу ме­тал­лов так, чтобы завод мог про­из­ве­сти наи­боль­шее ко­ли­че­ство спла­ва. Сколь­ко ки­ло­грам­мов спла­ва при таких усло­ви­ях еже­днев­но смо­жет про­из­ве­сти завод?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых си­сте­ма

имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

На­зо­вем на­ту­раль­ное число па­лин­дро­мом, если в его де­ся­тич­ной за­пи­си все цифры рас­по­ло­же­ны сим­мет­рич­но (сов­па­да­ет пер­вая и по­след­няя цифры, вто­рая и пред­по­след­няя, и т. д. На­при­мер, числа 121 и 123321 яв­ля­ют­ся па­лин­дро­ма­ми.

а)  При­ве­ди­те при­мер числа‐па­лин­дро­ма, ко­то­рое де­лит­ся на 15

б)  Сколь­ко су­ще­ству­ет пя­ти­знач­ных чисел‐па­лин­дро­мов, де­ля­щих­ся на 15?

в)  Най­ди­те 37‐е по ве­ли­чи­не число‐па­лин­дром, ко­то­рое де­лит­ся 15.