Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
В правильной треугольной пирамиде SABC точка М — середина ребра SC, точка K — середина ребра AB.
а) Докажите, что прямая MK делит высоту SH пирамиды в отношении 1 : 3.
б) Найдите угол между прямой MK и плоскостью ABC, если известно, что AB = 6, SA = 5.
Решение.
Спрятать критерии
Проведем апофему SK, соединим точки C и K отрезком, который пройдет через точку H. Точку пересечения KM и SH обозначим L.
а) По теореме Менелая имеем: 
где 
следовательно, 
что и требовалось доказать.
б) В Δ AKS, где 
В Δ ABC 
В Δ KHS, где 
Так как SH ⊥ (ABC) по условию, L — общая точка MK и SH, то KH — проекция KL на плоскость ABC, следовательно, ∠LKH и есть угол между MK и плоскостью ABC.
Ответ: б) 
Методы геометрии: Теорема Менелая
Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Правильная треугольная пирамида, Угол между прямой и плоскостью