Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 511884

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = BC = 8, BB1 = 6. Точка K — середина ребра BB1, точка P — середина ребра C1D1. Найдите:

а) площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки K и P параллельно прямой BD1;

б) объем большей части параллелепипеда, отсекаемой от него этой плоскостью.

Решение.

а) Построение: M — середина A1B1. Отрезки MP, MK. N — середина CC1. Отрезки NK, NP.

Четырехугольник KMPN — искомое сечение. Докажем это.

Ясно, что через три точки K, M, P, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Отрезки MK и PN — линии пересечения параллельных граней AA1B1 и DD1C1 параллелепипеда секущей плоскостью обязаны быть параллельными. В прямоугольных треугольниках MB1K и PC1N следовательно, MB1 = PC1, B1K = C1N — по условию и способу построения точек M и N. Отсюда: MK = PN. Из параллельности MK и PN, а также из их равенства следует, что KMPN — параллелограмм (по известному признаку параллелограмма). А это значит, что точка N лежит в плоскости (KMP).

Теперь докажем, что (KMP) || BD1. Соединим точки D1 и B1 отрезком, построим середину этого отрезка и обозначим L. В ΔBD1B1, где LK — средняя линия по условию и способу построения точки L. Следовательно, LK || BD1. Так как LK ⊂ (KMP), то (KMP) || BD1 по признаку параллельности прямой и плоскости.

Докажем, что KMPN — прямоугольник. Для этого поместим параллелепипед в декартову систему координат, направив ось y — по DC, ось x — по DA, ось z — по DD1. Будем иметь: M(8; 4; 6), K(8; 8; 3), N(0; 8; 3). MK = (0; 4; −3), KN = (−8; 0; 0). MK · KN = 0 · (−8) + 4 · 0 − 3 · 0 + = 0.

Таким образом, MK ⊥ KN. Нетрудно получить, что

MK= корень из { {{4} в степени 2 } плюс {{3} в степени 2 }}=5,KN=8.

S(KMPN)=MK умножить на KN=40.

 

б) Рассмотрим прямую треугольную призму MKB1PNC1.

Объем равен:

V=S(MKB_1) умножить на NK = дробь, числитель — 4 умножить на 3 умножить на 8, знаменатель — 2 =48.

V(ABCDA_1B_1C_1D_1)=8 умножить на 8 умножить на 6=384.

Искомый же объем ΔV = 384 − 48 = 336.

 

Ответ: а) 40; б) 336.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 116.
Методы геометрии: Метод координат
Классификатор стереометрии: Объем тела, Площадь сечения, Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой