а)  По­стро­е­ние: M  — се­ре­ди­на A₁B₁. От­рез­ки MP, MK. N  — се­ре­ди­на CC₁. От­рез­ки NK, NP.

Че­ты­рех­уголь­ник KMPN  — ис­ко­мое се­че­ние. До­ка­жем это.

Ясно, что через три точки K, M, P, не ле­жа­щие на одной пря­мой, про­хо­дит един­ствен­ная плос­кость. От­рез­ки MK и PN  — линии пе­ре­се­че­ния па­рал­лель­ных гра­ней AA₁B₁ и DD₁C₁ па­рал­ле­ле­пи­пе­да се­ку­щей плос­ко­стью обя­за­ны быть па­рал­лель­ны­ми. В пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках MB₁K и PC₁N сле­до­ва­тель­но, MB₁  =  PC₁, B₁K  =  C₁N  — по усло­вию и спо­со­бу по­стро­е­ния точек M и N. От­сю­да: MK  =  PN. Из па­рал­лель­но­сти MK и PN, а также из их ра­вен­ства сле­ду­ет, что KMPN  — па­рал­ле­ло­грамм (по из­вест­но­му при­зна­ку па­рал­ле­ло­грам­ма). А это зна­чит, что точка N лежит в плос­ко­сти (KMP).

Те­перь до­ка­жем, что (KMP) || BD₁. Со­еди­ним точки D₁ и B₁ от­рез­ком, по­стро­им се­ре­ди­ну этого от­рез­ка и обо­зна­чим L. В ΔBD₁B₁, где LK  — сред­няя линия по усло­вию и спо­со­бу по­стро­е­ния точки L. Сле­до­ва­тель­но, LK || BD₁. Так как LK ⊂ (KMP), то (KMP) || BD₁ по при­зна­ку па­рал­лель­но­сти пря­мой и плос­ко­сти.

До­ка­жем, что KMPN  — пря­мо­уголь­ник. Для этого по­ме­стим па­рал­ле­ле­пи­пед в де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат, на­пра­вив ось y  — по DC, ось x  — по DA, ось z  — по DD₁. Будем иметь: M(8; 4; 6), K(8; 8; 3), N(0; 8; 3). MK  =  (0; 4; −3), KN  =  (−8; 0; 0). MK · KN  =  0 · (−8) + 4 · 0 − 3 · 0 +  =  0.

Таким об­ра­зом, MK ⊥ KN. Не­труд­но по­лу­чить, что

б)  Рас­смот­рим пря­мую тре­уголь­ную приз­му MKB₁PNC₁.

Объем равен:

Ис­ко­мый же объем ΔV  =  384 − 48  =  336.

Ответ: а) 40; б) 336.