Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

На диагонали АВ₁ грани АВВ₁А₁ треугольной призмы взята точка М так, что АМ : МВ₁ = 5 : 4.

а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точку М параллельно диагоналям А₁С и ВС₁ двух других граней.

б) Найдите, в каком отношении плоскость сечения делит ребро СС₁.

Решите неравенство: .

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК, ВМ и СN. На стороне АВ выбрана точка Р так, что окружность описанная около треугольника РКМ касается стороны АВ.

а) Докажите, что угол КАМ равен углу МВС.

б) Найдите РN, если РА = 30, РВ = 10.

В двух коробках лежат карандаши: в первой красные, во второй — синие, причем, красных было меньше, чем синих. Сначала 40% карандашей из первой коробки переложили во вторую. Затем 20% карандашей, оказавшихся во второй коробке, переложили в первую, причем половину из переложенных карандашей составляли синие. После этого красных карандашей в первой коробке оказалось на 26 больше, чем во второй, а общее количество карандашей во второй коробке увеличилось по сравнению с первоначальным более, чем на 5%. Найдите общее количество синих карандашей.

Найдите все значения параметра b, при которых система имеет решение при любом значении параметра а.

Имеется арифметическая прогрессия, состоящая из пятидесяти чисел.

а) Может ли эта прогрессия содержать ровно 6 целых чисел?

б) Может ли эта прогрессия содержать ровно 29 целых чисел?

в) Найдите наименьшее число n, при котором эта прогрессия не может содержать ровно n целых чисел.