Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

На диа­го­на­ли АВ₁ грани АВВ₁А₁ тре­уголь­ной приз­мы взята точка М так, что АМ : МВ₁  =  5 : 4.

а)  По­строй­те се­че­ние приз­мы плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку М па­рал­лель­но диа­го­на­лям А₁С и ВС₁ двух дру­гих гра­ней.

б)  Най­ди­те, в каком от­но­ше­нии плос­кость се­че­ния делит ребро СС₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВС про­ве­де­ны вы­со­ты АК, ВМ и СN. На сто­ро­не АВ вы­бра­на точка Р так, что окруж­ность опи­сан­ная около тре­уголь­ни­ка РКМ ка­са­ет­ся сто­ро­ны АВ.

а)  До­ка­жи­те, что угол КАМ равен углу МВС.

б)  Най­ди­те РN, если РА  =  30, РВ  =  10.

В двух ко­роб­ках лежат ка­ран­да­ши: в пер­вой крас­ные, во вто­рой  — синие, при­чем, крас­ных было мень­ше, чем синих. Сна­ча­ла 40% ка­ран­да­шей из пер­вой ко­роб­ки пе­ре­ло­жи­ли во вто­рую. Затем 20% ка­ран­да­шей, ока­зав­ших­ся во вто­рой ко­роб­ке, пе­ре­ло­жи­ли в первую, при­чем по­ло­ви­ну из пе­ре­ло­жен­ных ка­ран­да­шей со­став­ля­ли синие. После этого крас­ных ка­ран­да­шей в пер­вой ко­роб­ке ока­за­лось на 26 боль­ше, чем во вто­рой, а общее ко­ли­че­ство ка­ран­да­шей во вто­рой ко­роб­ке уве­ли­чи­лось по срав­не­нию с пер­во­на­чаль­ным более, чем на 5%. Най­ди­те общее ко­ли­че­ство синих ка­ран­да­шей.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра b, при ко­то­рых си­сте­ма имеет ре­ше­ние при любом зна­че­нии па­ра­мет­ра а.

Име­ет­ся ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия, со­сто­я­щая из пя­ти­де­ся­ти чисел.

а)  Может ли эта про­грес­сия со­дер­жать ровно 6 целых чисел?

б)  Может ли эта про­грес­сия со­дер­жать ровно 29 целых чисел?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее число n, при ко­то­ром эта про­грес­сия не может со­дер­жать ровно n целых чисел.