Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д10 C2 № 506075
i

Ос­но­ва­ни­ем че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD яв­ля­ет­ся квад­рат ABCD, а вы­со­та пи­ра­ми­ды сов­па­да­ет с реб­ром SA. Найти вы­со­ту пи­ра­ми­ды, если ра­ди­ус впи­сан­но­го в пи­ра­ми­ду шара равен 3, а сто­ро­на квад­ра­та ABCD равна 15.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ре­ше­ние:

Пусть ис­ко­мая вы­со­та пи­ра­ми­ды, т. е. длина ребра SA, равна h. Тогда объем пи­ра­ми­ды V= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 225h=75h. Это с одной сто­ро­ны.

С дру­гой же сто­ро­ны, объем пи­ра­ми­ды свя­зан с ра­ди­у­сом шара, впи­сан­но­го в него, фор­му­лой: V= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на Sr, где S  — пол­ная по­верх­ность пи­ра­ми­ды, r  — ра­ди­ус шара, впи­сан­но­го в пи­ра­ми­ду. В нашем слу­чае V=S, по­сколь­ку r=3.

Най­дем S.

S=S левая круг­лая скоб­ка ADCD пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2S левая круг­лая скоб­ка SAB пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2S левая круг­лая скоб­ка SBC пра­вая круг­лая скоб­ка .

S левая круг­лая скоб­ка ABCD пра­вая круг­лая скоб­ка =225, \Delta SAB=\Delta SAD как два рав­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка (по двум ка­те­там: SA  — общий катет, AD = AB как сто­ро­ны од­но­го и того же квад­ра­та).

До­ка­жем, что \Delta SBC пря­мо­уголь­ный.

SB  — на­клон­ная к плос­ко­сти ABC, AB  — про­ек­ция на­клон­ной SB. BC\bot AB. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах не­пре­мен­но BC \bot SB.

По ана­ло­гич­ной при­чи­не \Delta SDC также ока­жет­ся пря­мо­уголь­ным. \Delta SDC=\Delta SBC (по общей ги­по­те­ну­зе и рав­ным ка­те­там BC и DC). По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра будем иметь: SB= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: SA конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс AB в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: h конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс 225; 2S левая круг­лая скоб­ка SAB пра­вая круг­лая скоб­ка =SA умно­жить на AB=15h; 2S левая круг­лая скоб­ка SBC пра­вая круг­лая скоб­ка =SB умно­жить на BC=15 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: h конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс 225.

Итак, S=225 плюс 15h плюс 15 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: h конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс 225.

По­сколь­ку V=S, то: 225 плюс 15h плюс 15 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: h конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс 225=75h;

15 плюс h плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: h конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс 225=5h рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: h конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс 225=4h минус 15 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но h в квад­ра­те плюс 225=16h в квад­ра­те минус 120h плюс 225 рав­но­силь­но 15h в квад­ра­те минус 120h=0 рав­но­силь­но h левая круг­лая скоб­ка h минус 8 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но h=0 (не под­хо­дит по смыс­лу за­да­чи), h=8.

 

Ответ: 8.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 39
Методы геометрии: Метод объ­е­мов, Тео­ре­ма о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах
Классификатор стереометрии: Впи­сан­ный шар, Че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да, Шар
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025